¿Cuáles son los valores de [math] p [/ math] para los cuales las raíces de la ecuación [math] 3.x ^ 2 + 2.x + p. (P-1) = 0 [/ math] son ​​opuestas en señal?

Answer 1

Para una ecuación cuadrática, [matemática] ax ^ {2} + bx + c = 0 [/ matemática] si [matemática] \ alpha, \ beta [/ matemática] son ​​las raíces.

[matemáticas] \ alpha \ cdot \ beta = \ dfrac {c} {a} [/ matemáticas]
Para la ecuación anterior,
[matemáticas] \ alpha \ cdot \ beta = \ dfrac {p (p-1)} {3} <0 [/ matemáticas] (ya que son signos opuestos)
[matemáticas] \ por lo tanto p (p-1) <0 \ implica p \ in (0,1) ………………………… (i) [/ matemáticas]

Como la mayoría de las soluciones ya señalan.
Pero lo que la mayoría de la gente olvida es que, para que las raíces tengan signos opuestos, deben ser reales, porque la comparación entre números complejos no tiene sentido.

[matemáticas] \ por lo tanto b ^ {2} – 4ac \ ge 0 [/ matemáticas]
Pero para nuestro caso,
[matemáticas] (2) ^ {2} – 4 (3) (p) (p-1)> 0 [/ matemáticas]
Porque la igualdad se mantiene solo si ambas raíces son iguales, pero si son iguales no pueden tener signos opuestos.
[matemáticas] 3p (p-1) <1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3p ^ {2} – 3p – 1 <0 \ implica \ left (p – \ left (\ dfrac {3+ \ sqrt {21}} {6} \ right) \ right) \ left (p – \ left (\ dfrac {3- \ sqrt {21}} {6} \ right) \ right) <0 [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto p \ in \ left (\ dfrac {3- \ sqrt {21}} {6}, \ dfrac {3+ \ sqrt {21}} {6} \ right) [/ math]

Dado que ambas condiciones anteriores deben cumplirse simultáneamente, tomamos la intersección de dos conjuntos.

[matemáticas] p \ in \ left ((0,1) \ bigcap \ left (\ dfrac {3- \ sqrt {21}} {6}, \ dfrac {3+ \ sqrt {21}} {6} \ right ) \ right) \ implica p \ in (0,1) [/ math]
Dado que (0,1) es un subconjunto del segundo conjunto.

La respuesta no cambió en esta pregunta, pero ese no siempre será el caso.
Es necesario verificar la condición de raíces reales.

Answer 2

El producto de las raíces debe ser inferior a 0.

Por lo tanto, [matemática] c / a <0 [/ matemática] en [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática]

Esto nos da el rango de p que es intervalo abierto 0, 1 representado como (0,1)

O

[matemáticas] p> 0 y p <1 [/ matemáticas]

Answer 3

En una ecuación cuadrática ax ^ 2 + bx + c, suma de las raíces = -b / a

Si las raíces son de signo opuesto, entonces la suma de las raíces = 0 => -b / a = 0 => b debe ser cero. Pero, la ecuación dada tiene un valor de 2 para b.

Por lo tanto, no es posible una solución que cumpla con los criterios dados.