La otra respuesta está bien, pero no terminó. Básicamente estamos pidiendo la cuarta raíz de -1. Los estudiantes experimentados se dan cuenta de que estos son los ángulos de 45 grados en el círculo de la unidad, por lo que pueden recitar las cuatro respuestas: [matemáticas] (\ pm 1 \ pm i) / \ sqrt {2}. [/ Matemáticas]
Vamos a resolverlo rápidamente.
[matemáticas] z ^ 4 + 2 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] z ^ 4 = -1 [/ matemáticas]
- ¿Cómo se usa la fórmula cuadrática en nuestra vida diaria?
- ¿Cuál es la ecuación para la combustión de carbón?
- ¿Cuál es el método más eficiente para resolver expresiones cuadráticas con coeficientes mayores que 1?
- ¿Cuáles son ejemplos de una ecuación molecular?
- ¿Cuál es la solución a las ecuaciones [matemáticas] -7x + 12 = 2x + 12-9x [/ matemáticas]?
La identidad de Euler es [matemática] e ^ {i \ pi} = – 1. [/ matemática] Para abordar las soluciones múltiples, también necesitamos que la identidad de Euler se eleve a la potencia [matemática] 2k [/ matemática], para entero [matemática] k: [/ matemáticas] [matemáticas] (e ^ {i \ pi}) ^ {2k} = (- 1) ^ {2k} [/ matemáticas] o [matemáticas] e ^ {2 \ pi ki} = 1. [/matemáticas]
Entonces,
[matemáticas] z ^ 4 = -1 = e ^ {i \ pi} = e ^ {i \ pi} e ^ {2 \ pi ki} [/ matemáticas]
Ahora elevamos ambos lados a la potencia [matemática] \ frac 1 4 [/ matemática].
[matemáticas] z = (e ^ {i \ pi} e ^ {2 \ pi ki}) ^ {\ frac 1 4} = e ^ {i \ pi / 4} e ^ {2 \ pi ki / 4} = e ^ {i \ pi / 4 + 2 \ pi ki / 4} [/ matemáticas]
Esa es nuestra solución en coordenadas polares. Podemos ver cómo corresponde a nuestras intuiciones: [matemáticas] e ^ {i \ pi / 4} [/ matemáticas] es [matemáticas] \ pi / 4 = 45 ^ \ circ [/ matemáticas] en el círculo unitario. La multiplicación por [matemáticas] e ^ {2 \ pi i / 4} [/ matemáticas] es una rotación de [matemáticas] \ pi / 2 = 90 ^ \ circ. [/ Matemáticas] [matemáticas] k [/ matemáticas] s sucesivas dar rotaciones que son múltiplos de [matemática] 90 ^ \ circ. [/ matemática] Entonces obtenemos ángulos [matemática] 45 ^ \ circ [/ matemática] en los cuatro cuadrantes.
Así que aquí hay cuatro [math] z [/ math] s únicos. Los obtenemos por cuatro [math] k [/ math] s consecutivos, digamos [math] k = -1, k = 0, k = 1 [/ math] y [math] k = 2. [/ Math] Debido a la periodicidad [math] 2 \ pi i [/ math], cualquier otra [math] k [/ math] s solo obtiene uno de los valores de estos cuatro. Vamos a resolverlos:
[matemáticas] k = 0) \ quad z = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ dfrac \ pi 4 + i \ sin \ dfrac \ pi 4 = \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} + i \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} = (1 + i) / \ sqrt {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] k = 1) \ quad z = e ^ {i (\ pi / 4 + 2 \ pi / 4)} = \ cos \ dfrac {3 \ pi} 4 + i \ sin \ dfrac {3 \ pi} 4 = (-1 + i) / \ sqrt {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] k = -1) \ quad z = e ^ {i (\ pi / 4 – 2 \ pi / 4)} = \ cos – \ dfrac {\ pi} 4 + i \ sin – \ dfrac {\ pi } 4 = (1-i) / \ sqrt {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] k = 2) \ quad z = e ^ {i (\ pi / 4 + \ pi)} = \ cos \ dfrac {5 \ pi} 4 + i \ sin \ dfrac {5 \ pi} 4 = ( -1-i) / \ sqrt {2} [/ math]
Esas son todas nuestras respuestas. Podemos combinarlos y escribir
[matemáticas] z = (\ pm 1 \ pm i) / \ sqrt {2} [/ matemáticas]
Otra forma de resolver las respuestas es darse cuenta de que [matemáticas] e ^ {2 \ pi ki / 4} = i ^ k [/ matemáticas], así que una vez que tuvimos nuestra primera respuesta [matemáticas] e ^ {i \ pi / 4 } = (1 + i) / \ sqrt {2} [/ math] simplemente podemos seguir multiplicando por [math] i [/ math] para generar el resto,
[matemáticas] i (1 + i) / \ sqrt {2} = (-1 + i) / \ sqrt {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] i (-1 + i) / \ sqrt {2} = (-1 -i) / \ sqrt {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] i (-1 -i) / \ sqrt {2} = (1-i) / \ sqrt {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] i (1-i) / \ sqrt {2} = (1 + i) / \ sqrt {2} [/ matemáticas]
y hemos dado la vuelta al círculo, literalmente.