¿Existe un nombre para las ecuaciones físicas que no conservan unidades?
En ingeniería, a veces me encuentro con una ecuación donde las unidades no se conservan y las cantidades deben expresarse en ciertas unidades. Ecuación de Hazen Williams, por ejemplo, ecuación de Hazen-Williams. ¿Hay un nombre para este tipo de ecuación?
¿Alguna vez has escuchado la frase “agregar manzanas a las naranjas”? Esa es una buena metáfora de esta situación. Cada ecuación tiene que ser dimensionalmente homogénea (conservar unidades), sin excepción. Si alguien se te acerca y te dice “Cinco grados centígrados más diecisiete babosas”, probablemente responderías con “¿Qué tiene que ver una escala de temperatura inútil con una unidad de masa perfectamente normal?” cualquier sentido. Esas dos cosas no están relacionadas en absoluto; No miden la misma propiedad.
Aquí hay una cita de la página de Wikipedia que vinculó:
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[matemáticas] V = kCR ^ {0.63} S ^ {0.54} [/ matemáticas]
dónde:
- V es velocidad
- k es un factor de conversión para el sistema de unidades (k = 1.318 para unidades usuales de EE. UU., k = 0.849 para unidades SI)
- C es un coeficiente de rugosidad
- R es el radio hidráulico
- S es la pendiente de la línea de energía (pérdida de carga por longitud de tubería o hf / L)
La parte interesante de esta ecuación es k, así que reorganicemos ligeramente esa ecuación:
[matemáticas] k = \ frac {V} {CR ^ {0.63} S ^ {0.54}} [/ matemáticas]
Sabemos que esta ecuación tiene que ser dimensionalmente homogénea, por lo que cualesquiera que sean las unidades en k, tienen que ser iguales a las unidades en ese bit desagradable de la derecha. Vamos a resolver eso:
En primer lugar, el coeficiente de rugosidad es un parámetro sin unidades, por lo que podemos ignorarlo.
[matemáticas] V =… \ frac {ft} {s} [/ matemáticas]
[matemáticas] R =… pies [/ matemáticas]
[matemáticas] S =… \ frac {ft H_2O} {ft} [/ matemáticas]
Poniendo todo esto junto, obtenemos
[matemática] k = 1.318 \ frac {ft ^ {0.91}} {s (ft H_2O) ^ {0.54}} [/ matemática]
¿Qué significa [math] ft [/ math] [math] ^ {0.91} [/ math]? Es bastante fácil entender qué es un pie al cuadrado: es el área cubierta por un cuadrado de un pie a cada lado. ¿Pero un exponente no entero de una dimensión?
La verdad es que las unidades en k no tienen mucho sentido. Si te dijera esas unidades sin describir el proceso que acabo de pasar, no tendrías ni idea de qué unidades para R y S hacen que la ecuación sea dimensionalmente homogénea. Es más fácil y menos ambiguo dejar de lado las unidades de k y decirte en qué unidades R y S deben estar para que la relación funcione.
Como nota al margen, convirtamos k en unidades métricas:
[matemáticas] k = 1.318 \ frac {ft ^ {0.91}} {s (ft H_2O) ^ {0.54}} * \ left (\ frac {0.3048m} {ft} \ right) ^ {0.91} * \ left ( \ frac {ft H_2O} {0.3048 m H_2O} \ right) ^ {0.54} [/ math]
[matemática] k = 0.849 \ frac {m ^ {0.91}} {s (m H_2O) ^ {0.54}} [/ matemática]
Después de ese largo prólogo, una respuesta muy corta a su pregunta:
Estos tipos de ecuaciones generalmente se denominan “relaciones empíricas”, ya que en realidad son solo estimaciones de curvas que siguen datos medidos.
Editar: Algunas de mis ecuaciones no salieron bien.