La fórmula cuadrática proviene de una antigua forma de resolver las cuadráticas, llamada completar el cuadrado.
Como ejemplo, tome 2x ^ 2 – 3x + 1 = 0. Deberíamos obtener x = 1 y 1/2. Puede verificar por factorización.
Primero, divida por el coeficiente principal (el coeficiente en x ^ 2) y obtenga la constante al otro lado.
x ^ 2 – 3 / 2x = -1/2.
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Luego, divida el coeficiente lineal entre dos y cuadre ese número. Agrega ese número a ambos lados. Esto se llama completar el cuadrado. Estamos obligando a un lado de la ecuación a ser un trinomio cuadrado perfecto.
x ^ 2 -3 / 2x + 9/16 = -1/2 + 9/16
Observe que (x + b) ^ 2 = x ^ 2 + 2bx + b ^ 2. En el paso antes de agregar la constante, solo tenemos x ^ 2 + 2bx. Entonces tomamos 2b, dividimos entre 2 y al cuadrado. De esa manera, agregamos b ^ 2 y tenemos un trinomio cuadrado perfecto.
Simplifica todo.
(x – 3/4) ^ 2 = 1/16
Toma la raíz cuadrada. Obtendrás dos ecuaciones.
x – 3/4 = 1/4. x – 3/4 = -1/4.
Agregue 3/4 a ambos lados para obtener x = 1 y 1/2. Obtuvimos la respuesta correcta, por lo que este método funciona.
Pero demostremos este método en general para cualquier cuadrático, ax ^ 2 + bx + c = 0. Simplemente siga los pasos que se enumeran anteriormente.
ax ^ 2 + bx + c = 0
x ^ 2 + b / ax = -c / a
x ^ 2 + b / ax + (b / 2a) ^ 2 = -c / a + (b / 2a) ^ 2
x ^ 2 + b / ax + b ^ 2 / 4a ^ 2 = b ^ 2 / 4a ^ 2 – 4ac / 4a ^ 2. Observe que elevamos al cuadrado un 2, así que ahora tenemos un 4.
(x + b / 2a) ^ 2 = (b ^ 2 – 4ac) / 4a ^ 2. Ahora obtendremos dos ecuaciones nuevamente.
x + b / 2a = sqrt (b ^ 2 – 4ac) / 2a. x + b / 2a = -sqrt (b ^ 2 – 4ac) / 2a
x = (-b +/- sqrt (b ^ 2 – 4ac) / (2a).
Y eso es. Completar el cuadrado nos da la fórmula cuadrática. Pero para responder la pregunta completamente, señalé el paso donde obtuvimos el 4 en la fórmula.