Cómo calcular las quintas raíces

Quinta raíz perfecta

Este truco solo funciona si es la quinta potencia perfecta de un número de 2 dígitos (para más dígitos, este truco implicará más capacidad intelectual). Esto surge del hecho de que la quinta potencia de cualquier número tiene el mismo último dígito que el original. Esto se debe a que los últimos dígitos elevados a una potencia tienen ciclos de 1 (como 0, 1, 5 y 6), 2 (como 4,9) o 4 (como 2, 3, 7, 8).

Separa los primeros dígitos y los últimos cinco dígitos. Puede estimar la quinta raíz de los primeros dígitos y redondearla al entero más cercano. Por ejemplo, 64 / 36343. Como 32 <64 <243, el primer dígito será 2. Y el último dígito depende solo uno del último dígito del número del que desea sacar la raíz quince. Entonces la quinta raíz de 6436343 es 23.

Quinta raíz no perfecta

Puede consultar la sección de estimación numérica de la respuesta de Trevor Cheung a ¿Cómo puedo resolver una ecuación de tercer grado?

Probablemente usaría el método de Newton-Raphson: para resolver una ecuación de la forma [matemática] f (x) = 0 [/ matemática], elija una aproximación (buena) de la solución [matemática] x_0 [/ matemática], encuentre la aproximación lineal de [matemática] f [/ matemática] en [matemática] x_0 [/ matemática] (es decir, encuentre la línea que pasa por [matemática] (x_0, f (x_0) [/ matemática] con pendiente [matemática] f ‘(x_0) [/ math]), encuentre dónde esa línea cruza el eje [math] x – [/ math], y úselo como una nueva aproximación.

Dado que la aproximación lineal [matemática] g (x) [/ matemática] de [matemática] f (x) [/ matemática] en [matemática] x_n [/ matemática] es [matemática] g (x) = f ‘(x_n) (x-x_n) + f (x_n) [/ math], podemos establecerlo en 0 y resolver [math] x [/ math] para obtener la siguiente aproximación: [math] x_ {n + 1} = x_n- \ frac {f (x_n)} {f ‘(x_n)} [/ math].

Aplicando eso a la 5ª raíz, para calcular (aproximada) [matemática] \ sqrt [5] {a} [/ matemática], tiene [matemática] f (x) = x ^ 5-a, f ‘(x) = 5x ^ 4, x_ {n + 1} = x_n – \ frac {x_n ^ 5-a} {5x_n ^ 4} [/ math].

En general, hay algunas advertencias sobre lo que es una aproximación inicial “buena”, pero para raíces simples, no es tan malo. Prácticamente cualquier cosa funcionará, incluyendo 1 o [matemáticas] a [/ matemáticas].

Aproximémonos a la 5ta raíz de 1234567. Para llegar a una aproximación inicial, ayuda a reconocer algunas 5tas potencias. [matemáticas] 2 ^ 5 = 32, 3 ^ 5 = 243, 10 ^ 5 = 10000 [/ matemáticas], lo que significa que [matemáticas] 20 ^ 5 = 320000 <1234567 <2430000 [/ matemáticas], así que escojamos 25 como nuestra [matemática] x_0 [/ matemática].

Voy a usar una hoja de cálculo para calcular estos valores, que puedes ver en la 5ta calculadora raíz, Newton-Raphson. Tenga en cuenta que el error rápidamente se vuelve muy bajo, ya que converge rápidamente.

También tenga en cuenta que mi estimación inicial estaba desactivada, ya que bajé un factor de 10 al calcular [matemática] 20 ^ 5, 30 ^ 5 [/ matemática], pero las aproximaciones convergieron rápidamente independientemente (en dos iteraciones estaba dentro de 1 de la correcta responder). Esto es lo bueno de Newton-Raphson para calcular raíces simples: es muy tolerante al error.

El teorema fundamental de la aritmética viene al rescate.

Todos los números se pueden factorizar en un conjunto único de números primos.

Aplique el hecho de que la raíz es en realidad un exponente fraccionario. Simplificar.

(32) ^ 1/5 = (2 ^ 5) ^ 1/5 = 2 ^ 1 = 2. Funciona en cualquier raíz! Sin cálculo ni calculadoras, ni gráficos necesarios.

Si sabe que el número tiene una quinta raíz entera, aquí hay una propiedad genial que encontré al jugar con la función [matemáticas] x ^ 5 [/ matemáticas] para los valores enteros de x:

El dígito final de [matemáticas] x ^ 5 [/ matemáticas] es siempre el mismo que el dígito final de x.

2 ^ 5 = 32

3 ^ 5 = 243

4 ^ 5 = 1024

5 ^ 5 = 3125

6 ^ 6 = 7776

7 ^ 7 = 16807

… El patrón continúa. Con el dígito de las unidades, no es difícil determinar las decenas. Si el número es inferior a 100000, la quinta raíz debe ser de un solo dígito. Si el número está entre 10 ^ 5 y 20 ^ 5 (lo que debo señalar es (2 ^ 5) (10 ^ 5), y ya sabemos cuáles son ambos), entonces la quinta raíz está entre diez y veinte. Esto puede continuar más allá, y no debería ser demasiado difícil hasta pasar los 100 ^ 5.

Si no sabes si tu respuesta es un número entero, no tengo ninguna magia especial. La mejor manera de estimar una quinta raíz es tomar mentalmente la raíz cuadrada dos veces (proporcionando la cuarta raíz) y luego dividirla por una constante para tener en cuenta esta discrepancia.

  • Para 10–200 (como la cuarta raíz), divida por 1.2 (piense en la multiplicación por 5/6, que es más fácil de hacer en la cabeza)
  • Para 200–1000, divida por 1.4 (multiplicación de 5/7)
  • Pasado eso, divide por 1.5 (multiplica por 2/3)

Dudo que cualquier cálculo para la quinta raíz de números más allá de 10 ^ 15 se calcule con éxito en la cabeza, pero vale la pena intentarlo.

Para calcular la quinta raíz, use log y ant log

Me gusta por 2 ^ (1/5)

Deje y = 2 ^ (1/5)

Log y = (log2) / 5

Log y = (0.301) / 5

Log y = 0.0602

Por anti log

Y = 1.1486

Toma la quinta raíz 32.

Divida por un factor, usaremos 4

4 x 8 es 32

Tomemos factores de 4 y 8.

Obtenemos 2 x 2 = 4 y 2 x 4 = 8

Tenemos un número más para ser factorizado ahora

2 x 2 = 4 y 2 x (2 x 2) = 8

Esto significa que 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32, que es 2 ^ 5.

Tome el número que está tratando de encontrar la quinta raíz, factoréelo hacia abajo a sus números primos, agrupe los números primos iguales en número a la raíz que está buscando, multiplique grupos completos juntos, coloque esto fuera del símbolo raíz, multiplique los números primos sobra y colóquelos debajo del símbolo raíz.

Toma el logaritmo, divide por 5 y toma el exponencial de este cociente.