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Tenga en cuenta que,
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k}} {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k} + \ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k- 1}} = \ frac {1} {1 + \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k-1}} {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k}}} \ tag { 1} [/ matemáticas]
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[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k-1}} {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k} + \ sum_ {k = 1} ^ nc ^ { 2k-1}} = \ frac {1} {1 + \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k}} {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k-1}}} \ etiqueta {2} [/ math]
Ahora,
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k} = \ frac {c ^ 2 (1 – c ^ {2n})} {1 – c ^ 2} \ tag {3} [/ matemáticas ]
(3) se obtiene simplemente usando progresión geométrica, y de manera similar,
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k-1} = \ frac {c (1 – c ^ {2n})} {1 – c ^ 2} \ tag {4} [/ matemáticas ]
De (1), (3) y (4),
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k}} {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k} + \ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k- 1}} = \ frac {1} {1 + \ frac {1} {c}} = \ frac {c} {c + 1} \ tag {5} [/ math]
Del mismo modo, de (2), (3) y (4),
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k – 1}} {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k} + \ sum_ {k = 1} ^ nc ^ { 2k-1}} = \ frac {1} {c + 1} \ tag {6} [/ math]
El límite es completamente innecesario, ya que la secuencia es una secuencia constante.