¿Son correctas las dos ecuaciones? por favor muestre trabajando.

* A2A *

Tenga en cuenta que,

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k}} {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k} + \ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k- 1}} = \ frac {1} {1 + \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k-1}} {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k}}} \ tag { 1} [/ matemáticas]

Similar,

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k-1}} {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k} + \ sum_ {k = 1} ^ nc ^ { 2k-1}} = \ frac {1} {1 + \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k}} {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k-1}}} \ etiqueta {2} [/ math]

Ahora,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k} = \ frac {c ^ 2 (1 – c ^ {2n})} {1 – c ^ 2} \ tag {3} [/ matemáticas ]

(3) se obtiene simplemente usando progresión geométrica, y de manera similar,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k-1} = \ frac {c (1 – c ^ {2n})} {1 – c ^ 2} \ tag {4} [/ matemáticas ]

De (1), (3) y (4),

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k}} {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k} + \ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k- 1}} = \ frac {1} {1 + \ frac {1} {c}} = \ frac {c} {c + 1} \ tag {5} [/ math]

Del mismo modo, de (2), (3) y (4),

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k – 1}} {\ sum_ {k = 1} ^ nc ^ {2k} + \ sum_ {k = 1} ^ nc ^ { 2k-1}} = \ frac {1} {c + 1} \ tag {6} [/ math]

El límite es completamente innecesario, ya que la secuencia es una secuencia constante.

Simplemente poniendo en práctica la sugerencia de Terry Moore,

Ecuación 1: –

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k}} {\ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k } + \ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ {n} cc ^ {2k-1}} {\ sum_ {k = 1} ^ {n} cc ^ {2k-1} + \ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}} [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {c \ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}} {c \ sum_ {k = 1} ^ {n } c ^ {2k-1} + \ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}} [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {c \ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}} {\ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1} (c + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ require {cancel} \ frac {c \ cancel {\ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}}} {\ cancel {\ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}} (c + 1)} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {c} {c + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {c} {c + 1} [/ matemáticas]

Ecuación 2: –

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}} {\ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k} + \ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}} {\ sum_ {k = 1} ^ {n} cc ^ {2k-1} + \ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}} [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}} {c \ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1} + \ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}} [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}} {\ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1} (c + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ cancel {\ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}}} {\ cancel {\ sum_ {k = 1} ^ {n} c ^ {2k-1}} (c + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {c + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {c + 1} [/ matemáticas]

Aquí hay una pista que hace esto mucho más fácil que la respuesta anterior. Tome c como factor de las sumas con c ^ 2k. Luego, todas las sumas cancelan dejando expresiones con solo c y 1. Esto será lo mismo para todas n, por lo que el límite es el valor cuando n = 1 (o cualquier otro valor).