Resuelva la ecuación diferencial: [math] \ dfrac {dy} {dx} = x ^ 3 (yx) ^ 2 + \ dfrac {y} {x}, u (x) = x [/ math]

Answer 1

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = x ^ 3 (yx) ^ 2 + \ dfrac {y} {x}; y (x) = x [/ matemáticas]

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Ahora eso es lo que me gusta porque esto es lo que me golpeó muchísimo. Esta es una ecuación diferencial no lineal llamada ecuación diferencial de Riccati . Conozco el enfoque clásico para resolverlo, pero no se atrevan a probarlo, lo reduje a una ecuación diferencial lineal y obtuve un horror no integrable en el lado derecho de la ecuación diferencial lineal.

Para ser más precisos, pruebe el enfoque tradicional aquí y llegará a esta etapa.

[matemáticas] d [wxe ^ {x ^ 2- \ frac {2} {5} x ^ 5}] = – x ^ 4e ^ {x ^ 2- \ frac {2} {5} x ^ 5} \, dx [/ math]

Tomando la integral de ambos lados obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle wxe ^ {x ^ 2- \ frac {2} {5} x ^ 5} = \ int {-x ^ 4e ^ {x ^ 2- \ frac {2} {5} x ^ 5} } \, dx [/ math]

Puede verificar que el lado derecho no tenga una integral indefinida .

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Así que probé el método de sustitución homogénea como último recurso, y estaba a punto de rendirme …

Deje [math] y = vx [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dy} {dx} = v + x \ dfrac {dv} {dx} [/ matemáticas]

Sustituir todo en el problema original, tenemos

[matemáticas] v + x \ dfrac {dv} {dx} = x ^ 3 (vx-x) ^ 2 + v [/ matemáticas]

Algo cancela, bien! Estamos llegando a algún lado, veamos si realmente se reduce a lo que creo que sería.

[matemáticas] x \ dfrac {dv} {dx} = x ^ 5 (v-1) ^ 2 [/ matemáticas]

Santa ecuación separable, bienvenido a casa 😀

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dv} {(v-1) ^ 2} = x ^ 4 \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ int {\ dfrac {dv} {(v-1) ^ 2}} = \ int {x ^ 4} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ implica – \ dfrac {1} {v-1} = \ dfrac {1} {5} x ^ 5 + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica – \ dfrac {1} {v-1} = \ dfrac {x ^ 5 + 5C} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica v-1 = – \ dfrac {5} {x ^ 5 + 5C} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica v = 1- \ dfrac {5} {x ^ 5 + 5C} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {y} {x} = 1- \ dfrac {5} {x ^ 5 + 5C} [/ matemáticas]

[matemática] \ implica y = x \ izquierda (1- \ dfrac {5} {x ^ 5 + 5C} \ derecha) [/ matemática]

Tenga en cuenta que dado que no podríamos usar el enfoque clásico para resolver esta ecuación diferencial, la solución particular dada se vuelve inútil.

Answer 2

El segundo diferencial es continuo. Y en un espacio compacto tiene un máximo. Esto significa que en el espacio compacto, el diferencial es continuo. Ahora con el teorema de Picard-Lindelöf podemos decir que hay un intervalo para que exista una solución única.

A menos que haya cometido algún error.