¿Cuáles son las dos líneas paralelas utilizadas en ciertas ecuaciones en el lugar de la parálisis?

Answer 1

Voy a explicar toda la expresión. Golpearemos los barrotes cuando lleguemos allí. (Lo he dicho antes, pero nunca en un contexto matemático). Vamos a verlo desde adentro hacia afuera.

Las variables en negrita, [math] \ mathbf x [/ math] y [math] \ mathbf {\ mu_i} [/ math], son vectores. El tipo en negrita es una de las notaciones habituales para los vectores, que ya no intentaré reproducir aquí.

La diferencia de dos vectores es un vector. Entonces el objeto entre las barras, [math] x- \ mu_i, [/ math] es un vector.

El par de barras dobles no es un reemplazo para paréntesis. Más bien es el operador de la norma, que podemos considerar que nos da la longitud de los vectores. En otras palabras, el operador norma es una función que asigna un vector a un escalar no negativo, su longitud.

La norma a menudo aparece al cuadrado, y en muchos sentidos la norma al cuadrado es más fundamental que la norma misma. A menos que se indique lo contrario, generalmente la norma es la norma euclidiana:

[matemáticas] \ displaystyle \ | \ vec x \ | ^ 2 = \ sum_l x_l ^ 2 [/ math]

Se pretende que la suma esté sobre todos los componentes del vector. Dado que la norma en sí misma es una suma, nuestra expresión es realmente arg mínima sobre una suma triple.

La suma interna [math] \ sum_ {x \ en S_i} [/ math] es una suma sobre todos los vectores en [math] S_i [/ ​​math], por lo que [math] S_i [/ ​​math] debe ser un conjunto de vectores . Entonces, para una [matemática] i [/ matemática] dada, esta es la suma de las distancias al cuadrado desde cada vector en [matemática] S_i [/ ​​matemática] a [matemática] \ mu_i [/ ​​matemática]. Entonces esto dice algo así como para una [matemática] i [/ matemática] dada, [matemática] \ mu_i [/ ​​matemática] es nuestro vector objetivo, [matemática] S_i [/ ​​matemática] es un conjunto de vectores que intentan alcanzar el objetivo , y la suma es un error acumulativo, o la suma de las distancias al cuadrado de cuán lejos está cada vector en [math] S_i [/ ​​math] de [math] \ mu_i [/ ​​math]. Entonces, esta suma define esencialmente un tipo de distancia al cuadrado desde el conjunto de vectores [math] S_i [/ ​​math] al objetivo [math] \ mu_i [/ ​​math].

[math] S [/ math] en sí es un conjunto de conjuntos [math] S_i [/ ​​math], y aparentemente hay [math] k [/ math] de ellos, correspondientes a los objetivos [math] k [/ math] [matemáticas] \ mu_i [/ ​​matemáticas]. La suma externa agrega las distancias al cuadrado de cada [matemática] i [/ matemática].

Parece que proviene de algún tipo de clasificación estadística o contexto de aprendizaje automático. Lo que está sucediendo es que hay [matemáticas] k [/ matemáticas] diferentes [matemáticas] \ mu [/ matemáticas] s, cada [matemáticas] \ mu_i [/ ​​matemáticas] es el ejemplo de la clase [matemáticas] i. [/ Matemáticas] [matemáticas] S [/ matemáticas] es una sesión de prueba; dentro de él, cada [matemática] S_i [/ ​​matemática] es un conjunto de vectores de ejemplo que comparamos con [matemática] \ mu_i [/ ​​matemática] y obtenemos una distancia cuadrada sumada. Entonces, la suma doble da una medida de qué tan cerca están los ejemplos en [math] S [/ math] a [math] \ mu [/ math] s, siendo más pequeño el más cercano. Por lo general, las medidas de esta forma se llaman algo así como “error al cuadrado” o “suma de desviaciones al cuadrado”.

Finalmente, el argumento mínimo sobre todo el asunto significa que [matemáticas] S [/ matemáticas] en sí es una variable, es decir, hemos tenido más de una sesión de prueba. Para cada sesión de prueba, obtenemos un error al cuadrado. El argumento min devuelve la sesión de prueba [matemática] S [/ matemática] que minimiza el error al cuadrado. Esta sería la operación a realizar si desea elegir la mejor sesión de prueba antes de escribir su trabajo.

Aquí parece haber una suposición implícita de que todos los conjuntos de pruebas tienen el mismo número de ejemplos (al menos para una [matemática] i [/ matemática] dada); de lo contrario no tendría tanto sentido comparar las sumas en bruto de los cuadrados.

Wow, se necesitan muchas palabras para describir una expresión compacta.

Answer 2

Ese símbolo significa tomar la norma de lo que hay dentro. La x y la u de aspecto divertido son vectores, no números, y la norma en este caso es esencialmente “qué tan separadas están las puntas de esos vectores”.

Answer 3

En realidad, estos no se usan entre paréntesis “en lugar de”, porque tienen otro significado por completo. Cuando ve líneas paralelas alrededor de un valor, el significado típico es tomar el valor absoluto, de modo que siempre quede un número positivo:

[matemáticas] \ izquierda | -3 \ derecha | = 3 [/ matemáticas]

En esencia, esta es la distancia al origen (-3 es una distancia 3 desde 0). Cuando veas barras dobles; sin embargo, es una extensión del valor absoluto, que se llama norma , que también devuelve una medida de distancia al origen:

[matemáticas] \ left \ lVert (3, 4) \ right \ rVert = \ sqrt {3 ^ {2} + 4 ^ {2}} = 5 [/ matemáticas]

El significado de este símbolo es tomar el valor absoluto del valor dentro, para que siempre quede un número positivo.

En los trabajos de matemáticas, es habitual que la barra simple signifique el valor absoluto y la barra doble signifique la norma.

Editar: Rescribió la respuesta basada en los comentarios de Meni.

La respuesta anterior combinó la barra simple y la doble, indicando que era la preferencia de un autor. En los trabajos de matemáticas, está bastante estandarizado, pero puede que no esté en todos los trabajos científicos. Esto hizo que el contexto y la connotación de mi respuesta fueran previamente erróneos.