¿Cuál es la ecuación utilizada para resolver la distancia de la Tierra a una estrella si su paralaje es 0.2 segundos de un arco?

Answer 1

¿Cuál es la ecuación utilizada para resolver la distancia de la Tierra a una estrella si su paralaje es 0.2 segundos de un arco?

Dado que el ángulo de paralaje, [matemática] \ theta [/ matemática], a la Estrella, [matemática] A [/ matemática], es la mitad del cambio aparente en el ángulo causado por el movimiento de la Tierra, [matemática] E [/ matemática] , en órbita alrededor del Sol, [matemática] S [/ matemática], tenemos un triángulo rectángulo simple en el que [matemática] \ ángulo EAS = \ theta [/ matemática]. Por lo tanto, la distancia a la estrella, [math] | SA | [/ math], satisface [math] \ tan \ theta = \ frac {| SE |} {| SA |} [/ math].

La distancia del Sol a la Tierra, [math] | SE | [/ math], se denomina Unidad Astronómica y se define como (exactamente) [math] 149,597,870,700 [/ math] metros (o solo menos de [math] 150 [ / matemáticas] millones de kilómetros).

Para ángulos pequeños [matemática] \ tan \ theta \ aprox \ theta [/ matemática] (en radianes), entonces tenemos:

[matemáticas] \ quad | SA | \ aprox \ frac {150} {\ theta} [/ matemáticas] millones de kilómetros.

Para [matemáticas] \ theta = 0.2 \ text {arcseconds} = \ frac {0.2 \ times2 \ pi} {360 \ times60 \ times60} \ approx10 ^ {- 6} [/ math] radianes:

[matemática] \ quad | SA | \ aprox1.5 \ veces10 ^ {14} [/ matemática] kilómetros o un poco más de [matemática] 15 [/ matemática] años luz.

Los astrónomos decidieron que preferirían una unidad de distancia que haría simples las conversiones desde ángulos de paralaje. Se les ocurrió el Parsec: la distancia a la que una estrella produciría un segundo de arco de paralaje. [math] 0.2 [/ math] segundos de arco serían, por lo tanto, [math] \ frac1 {0.2} = 5 [/ math] parsecs.

Un cálculo similar al anterior da:

[matemática] \ quad1 [/ matemática] parsec [matemática] \ aprox3.26 [/ matemática] años luz [matemática] \ aprox3.1 \ veces10 ^ {16} [/ matemática] metros

como se ilustra en el siguiente diagrama:

(Fuente: Archivo: Stellarparallax parsec1.svg)

Answer 2

[matemáticas] d = \ frac {R} {\ sin \ theta} [/ matemáticas]

Aquí, [math] d [/ math] es la distancia desde el Sol a la estrella, [math] R [/ math] es el radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, y [math] \ theta [/ math] es El ángulo de paralaje. Si desea la distancia de la Tierra, reemplace el seno con la tangente, aunque en estos paralaje la diferencia será bastante insignificante. De hecho, puede aproximar con bastante seguridad esta fórmula como esta, suponiendo que [math] \ theta [/ math] esté en radianes:

[matemáticas] d = \ frac {R} {\ theta} [/ matemáticas]

Para tomar su ejemplo específico,

[matemáticas] R = 1 AU [/ matemáticas]

[matemáticas] \ theta = 0.2 “= 0.00005556 ° = 9.696 \ veces 10 ^ {- 7} [/ matemáticas]

[matemáticas] d = \ frac {1 AU} {9.696 \ veces 10 ^ {- 7}} = 1.031 \ veces 10 ^ 6 AU = 16.30 ly [/ matemáticas]

Editar: accidentalmente estropeé la definición de paralaje y leí mal el número en cuestión como 0.2 minutos de arco.

Answer 3

[matemáticas] p = \ frac {1} {d} [/ matemáticas]

Donde p es el ángulo de paralaje (segundos de arco) yd la distancia a la estrella (parsecs).