¿Cómo construyen y examinan los físicos teóricos modelos matemáticos abstractos, por ejemplo, para la gravedad cuántica? ¿De dónde vienen las ecuaciones?

Answer 1

Las ecuaciones provienen de los primeros principios.

Muchas teorías físicas comienzan con el principio de menor acción. Sin entrar en detalles, la idea general es que los sistemas físicos tienen una cantidad adjunta, “la acción funcional”, y el principio (que data del siglo XIX, con raíces que se remontan al XVII) establece que como sistema físico evoluciona, hace lo suyo de tal manera que la acción funcional siempre tiene el valor más bajo posible.

Este es un concepto increíblemente poderoso, casi mágico. Para sistemas simples, la acción es solo la diferencia entre la energía cinética y potencial del sistema. De esto solo, es posible derivar, con rigor matemático, las ecuaciones de movimiento para ese sistema. Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los planetas, las ecuaciones que describen un artilugio mecánico, incluso las ecuaciones de flujo de fluido o las del campo electromagnético pueden derivarse de una acción.

Este principio del siglo XIX sigue siendo inmensamente poderoso en el siglo XXI. La relatividad general se puede establecer de manera más concisa escribiendo la llamada acción de Einstein-Hilbert: una expresión engañosamente simple, [math] – (R + 2 \ Lambda) \ sqrt {-g} [/ math]. El modelo estándar de la física de partículas, que abarca todo lo que sabemos sobre la materia, generalmente se define en forma de una acción: no es simple, para estar seguro (ocupa tal vez media página de ecuaciones en la notación habitual) pero recuerde, Cuenta todo lo que sabemos sobre electromagnetismo, materia cargada, interacciones nucleares, quarks, el bosón de Higgs.

Y el principio de acción también es fundamental para la física cuántica, ya que conduce a una formulación de las ecuaciones de muchas teorías que pueden “cuantificarse” fácilmente.

Además, las propiedades matemáticas de la acción conducen directamente a leyes de conservación, según un teorema descubierto por Emmy Noether en la década de 1910. (Sí, se llama el teorema de Noether.) Por ejemplo, si la expresión matemática de la acción es invariable bajo una traducción (es decir, no importa dónde coloque el origen de su sistema de coordenadas), eso lleva a la ley de conservación de impulso La invariancia en la traducción del tiempo conduce a la conservación de la energía. Y las simetrías “internas” más exóticas, no geométricas, conducen a otras cosas: por ejemplo, una simetría interna de la acción que describe el campo electromagnético conduce a la conservación de la carga eléctrica.

Entonces, para muchas teorías físicas, todas las ecuaciones provienen de una expresión matemática, la acción, que codifica efectivamente los supuestos o postulados de la teoría. Esto es tanto así, los trabajos enviados a revistas de física a menudo son rechazados por los árbitros si las ecuaciones en ellos se postulan sin un principio de acción correspondiente. Pero a veces, eso es lo que pasa. Por ejemplo, cuando Einstein formuló la relatividad general, simplemente postuló la ecuación de campo de la teoría (conocida hoy como la ecuación de campo de Einstein), que “dedujo”, después de varios intentos fallidos e intentos fallidos, en parte utilizando su intuición, en parte al asegurar que las ecuaciones se reducen a la teoría de la gravedad de Newton en el límite del campo débil, en parte asegurándose de que las ecuaciones respeten, por ejemplo, la conservación de la energía. Pero no lo derivó de un principio de acción. Esa tarea fue realizada por Hilbert, razón por la cual esa acción se llama acción de Einstein-Hilbert.