No estoy completamente seguro de lo que quieres decir.
Una ecuación no tiene raíces, es solo una igualdad. Lo que supongo que querías decir es que tienes alguna función [matemática] f (x) [/ matemática] y te interesa saber qué [matemática] x [/ matemática] es [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] .
Del mismo modo, una ecuación no tiene un grado … pero tampoco tiene una función general. Un polinomio tiene un grado, por lo que lo único que puedo suponer es que si un polinomio [matemático] p (x) [/ matemático] tiene más raíces que su grado, entonces es idénticamente 0.
Esta afirmación es trivialmente verdadera para polinomios complejos, en virtud del hecho de que para un polinomio [matemático] p (x) [/ matemático], el número de raíces (contadas con multiplicidad) siempre es igual al grado.
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En general, para cualquier dominio integral [matemática] R [/ matemática] (recuerde que un dominio integral es un objeto algebraico con suma, resta y multiplicación conmutativa y asociativa, donde la multiplicación se distribuye sobre la suma, y [matemática] xy = xz [ / math] implica [math] y = z [/ math] if [math] x \ neq 0 [/ math]), el número de raíces de un polinomio [math] p (x) [/ math] con coeficientes en [ matemática] R [/ matemática] es menor o igual que el grado de [matemática] p (x) [/ matemática].
Para cosas que no son dominios integrales, esto no necesita ser cierto. Tomemos, como ejemplo, [math] \ mathbb {Z} / 6 \ mathbb {Z} [/ math], que consta de 6 elementos [math] 0,1,2,3,4,5 [/ math], y donde la suma y la multiplicación funcionan normalmente, excepto que [matemáticas] 0 = 6 [/ matemáticas].
Considere el polinomio [matemáticas] p (x) = x ^ 2 + x [/ matemáticas]. Comprobamos que
[matemáticas] p (0) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] p (1) = 1 + 1 = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] p (2) = 4 + 2 = 6 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] p (3) = 9 + 3 = 12 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] p (4) = 16 + 4 = 20 = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] p (5) = 25 + 5 = 30 = 0 [/ matemáticas],
lo que significa que este polinomio tiene 4 raíces a pesar de que su grado es solo 2. Al mismo tiempo, tampoco es cierto que [matemática] p (x) = 0 [/ matemática] de forma idéntica.