En su tesis doctoral de 1924, de Broglie propuso que así como la luz tiene propiedades de onda y de partículas, los electrones también tienen propiedades de onda. Argumentó que la naturaleza era simétrica y que, dado que la radiación tenía propiedades similares a las partículas; la materia también debería tener propiedades de onda. Él planteó la hipótesis de que cada partícula de materia tenía una longitud de onda asociada dada por la relación [matemática] p = \ frac {h} {\ lambda} [/ matemática].
La tesis de De Broglie comenzó a partir de la hipótesis, ” que a cada porción de energía con una masa adecuada [matemática] m_0 [/ matemática] se le puede asociar un fenómeno periódico de la frecuencia [matemática] ν_0 [/ matemática] , de modo que se encuentre: [matemática] hν_0 = m_0c ^ 2 [/ matemática] . La frecuencia [matemática] ν_0 [/ matemática] debe medirse, por supuesto, en el marco de descanso del paquete de energía. Esta hipótesis es la base de nuestra teoría ” .
Básicamente, de Broglie, basándose en la explicación de Einstein del efecto fotoeléctrico (invocando la naturaleza dual de la luz) argumentó que si las ecuaciones de dualidad ya conocidas para la luz fueran las mismas para cualquier partícula, entonces su hipótesis se mantendría. La velocidad de una partícula, concluyó, siempre debe ser igual a la velocidad del grupo de la onda de materia correspondiente. La magnitud de la velocidad del grupo es igual a la velocidad de la partícula.
Si bien el concepto de ondas de materia fue invocado correctamente por De Broglie, hubo una serie de problemas conceptuales con el enfoque que de Broglie adoptó en su hipótesis, que no pudo resolver, a pesar de intentar varias hipótesis fundamentales diferentes en diferentes artículos publicados mientras trabajaba, y poco después de publicar, su tesis. Estos problemas fueron resueltos más tarde por Erwin Schrodinger, quien desarrolló la mecánica de onda cuántica a partir de un enfoque algo diferente. Por lo tanto, para derivar la relación de Broglie, debemos colocar nuestro pie en la escalera de la ecuación de Schrodinger, como primer paso. Cubramos brevemente los postulados necesarios:
- La ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo se escribe como [matemáticas] i \ hbar \ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t} = – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ parcial x ^ 2} + V \ Psi [/ matemáticas]
- La función de onda [matemática] \ Psi (x, t) [/ matemática] es un objeto abstracto, que codifica toda la información sobre una partícula. Según la interpretación estadística de Born, el cuadrado de la función de onda representa la densidad de probabilidad para encontrar una partícula en un punto [matemático] x [/ matemático] en un momento [matemático] t [/ matemático], de donde se deduce que [matemático] \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ \ infty | \ Psi (x, t) | ^ 2 \, dx = 1 [/ math].
- Los observables están representados por operadores hermitianos, los estados determinados son funciones propias del operador hermitiano del observable correspondiente.
- Los valores propios de un operador hermitiano son reales.
Derivemos ahora la relación de Broglie.
El operador de momentum en Quantum Mechanics se define como [math] \ displaystyle-i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} [/ math]. Deje que [math] f_p (x) [/ math] sea la función propia y [math] p [/ math] sea el valor propio del operador momentum, sabemos que [math] \ frac {\ hbar} {i} \ frac { d} {dx} f_p (x) = pf_p (x) [/ math]. La solución general es
[matemáticas] f_p (x) = Ae ^ {\ frac {ipx} {\ hbar}} [/ matemáticas]
Esto no es integrable al cuadrado (normalizable), para cualquier valor de [math] p [/ math] -el operador de momento no tiene funciones propias en el espacio de Hilbert. Sin embargo, si nos limitamos a valores propios reales , podemos ver que:
[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {ikx} dk = 2 \ pi \ delta (x) [/ math], donde [math] \ delta (x) [/ math] es el Función Delta de Dirac (Teorema de Plancherel). Así recuperamos una ortonormalidad “make-do”; [matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f * _ {p ‘} (x) f_p (x) dx = | A | ^ 2 \ displaystyle \ int _ {- \ inf} ^ \ inf e ^ {\ frac {i (pp ‘) x} {\ hbar}} dx = | A | ^ 22 \ pi \ hbar \ delta (pp’) [/ math].
Si seleccionamos [math] A = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}} [/ math], entonces [math] \ left = \ delta ( pp ‘) [/ matemáticas]; que sorprendentemente se asemeja a la verdadera ortonormalidad. Por lo tanto, nuestra solución [math] f_p (x) = \ frac {1} {h} e ^ {\ frac {ipx} {\ hbar}} [/ math] es físicamente razonable.
Las funciones propias del momento, por lo tanto, son sinusoidales, con longitud de onda [matemática] \ frac {h} {p} [/ matemática].
Esta es la famosa relación de Broglie. En realidad, resulta ser más sutil de lo que De Broglie imaginó, porque no existe una partícula con un momento definido. Sin embargo, si pudiéramos hacer un paquete de onda normalizable con un rango estrecho de momentos, la relación de Broglie se puede aplicar a dicho objeto.
Referencias
- David J. Griffiths, segunda edición
- Derivación de la ecuación de de Broglie