Cómo derivar la ecuación para f usando el método de dimensión

Básicamente estás buscando la derivación de la ecuación de onda. La idea general es suponer que la cadena (de longitud [matemática] L [/ matemática] tensión [matemática] T [/ matemática] y densidad de masa lineal [matemática] \ mu [/ matemática]) en realidad está compuesta de algún número grande de masas individuales [matemática] m [/ matemática], separadas entre sí por una distancia [matemática] dl = \ frac {m} {\ mu} [/ matemática]. Deje que la cantidad de la masa en la posición [matemática] x [/ matemática] se desplace por encima del equilibrio en el tiempo [matemática] t [/ matemática] sea [matemática] y (x, t) [/ matemática].

Ahora la fuerza sobre la masa en [math] x [/ math] estará dada por

[matemáticas] m \ frac {\ partial ^ 2 y (x, t)} {\ partial t ^ 2} = T \ sin \ theta_ + – T \ sin \ theta _- [/ math],

donde [math] \ theta_ +, \ theta_- [/ math] son ​​los ángulos que la cadena forma con la horizontal a la izquierda y derecha de [math] x [/ math]; en particular,

[matemáticas] \ tan \ theta_ + = \ frac {y (x + dl, t) – y (x, t)} {dl} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ tan \ theta_- = \ frac {y (x, t) – y (x – dl, t)} {dl} [/ matemáticas],

de modo que suponiendo ángulos pequeños (para [matemática] | \ alpha | \ ll 1 [/ matemática], [matemática] \ sin \ alpha \ aproximada \ tan \ alfa \ aproximada \ alfa [/ matemática]), tenemos

[matemáticas] \ mu \ frac {\ partial ^ 2 y (x, t)} {\ partial t ^ 2} = \ frac {T} {dl ^ 2} (y (x + dl, t) – 2y (x , t) + y (x-dl, t)) [/ math].

Finalmente, dejando [math] dl \ a 0 [/ math], el lado derecho se convierte en

[matemática] T \ frac {\ parcial ^ 2 y (x, t)} {\ parcial x ^ 2} [/ matemática]

y obtenemos la ecuación de onda,

[matemáticas] \ frac {\ partial ^ 2 y (x, t)} {\ partial t ^ 2} = \ frac {T} {\ mu} \ frac {\ partial ^ 2 y (x, t)} {\ parcial x ^ 2} [/ matemáticas],

de donde encontramos que la velocidad de fase de nuestro medio es

[matemáticas] v_p = \ sqrt {\ frac {T} {\ mu}} [/ matemáticas].

La velocidad de fase tiene la propiedad especial de que cualquier función de la forma [math] \ psi (x, t) = f (x \ pm v_p t) [/ math] resuelve nuestra ecuación de onda. En efecto, estamos diciendo que las formas de onda que viajan en [math] v_p [/ math] en cualquier dirección son posibles en nuestro medio. De hecho, se puede demostrar que cualquier solución a la ecuación de onda es solo una superposición de dos ondas viajeras: una que se mueve hacia la izquierda en [math] v_p [/ math], la otra se mueve hacia la derecha a la misma velocidad.

Ahora, para una cadena de longitud fija [matemática] L [/ matemática] atada en ambos extremos, tenemos que imponer algunas condiciones de contorno: [matemática] \ psi (0, t) = \ psi (L, t) = 0 [ / math] (donde [math] \ psi [/ math] es la forma de onda). Para hacer cumplir esta condición, puede convencerse de que cuando descompongamos la condición inicial [math] \ psi (x, 0) [/ math] en dos componentes como arriba, cada uno tendrá un período (espacial) [math] 2L [/ math ] y viaja en direcciones opuestas en [math] v_p [/ math]. En el caso de que la cadena se libere del reposo, estos dos componentes son realmente idénticos.

En cualquier caso, observe que después de liberar una cadena en [math] t = 0 [/ math], tenemos que esperar hasta que ambos componentes de [math] \ psi [/ math] hayan viajado a una distancia de [math] 2L [/ math] antes de que nuestra cadena se vea igual que en [math] t = 0 [/ math]. Pero recuerde que los componentes viajan en [math] v_p [/ math], por lo que el período (temporal) de nuestra forma de onda es

[matemáticas] T = \ frac {2L} {v_p} = \ frac {2L} {\ sqrt {\ frac {T} {\ mu}}} [/ matemáticas],

lo que significa que nuestra frecuencia es solo la inversa:

[matemáticas] \ nu = \ frac {\ sqrt {\ frac {T} {\ mu}}} {2L} = \ frac {1} {2} \ sqrt {\ frac {T} {ML}} [/ math ],

donde [math] M = \ mu L [/ math] es la masa de toda la cadena.

En general, definimos [math] v_p [/ math] como la relación entre la frecuencia temporal de una onda y su frecuencia espacial (en nuestro caso, [math] \ frac {1} {2L} [/ math]).

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