¿Cuál será el número de soluciones de la siguiente ecuación perteneciente al intervalo (0, 1)?

Answer 1

[matemáticas] \ displaystyle \ tan ^ {- 1} \ left (a \ right) + \ tan ^ {- 1} \ left (b \ right) = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {a + b} {1-ab} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {x} {1-x ^ {2}} \ right) + \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {1} {x ^ {3}} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ frac {x} {1-x ^ {2}} + \ frac {1} {x ^ {3}}} {1- \ frac {x} {1-x ^ {2}} \ times \ frac {1} {x ^ {3}}} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ pi + \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ frac {x} {1-x ^ {2}} + \ frac {1} {x ^ {3}}} { 1- \ frac {1} {x ^ {2} \ left (1-x ^ {2} \ right)}} \ right) [/ math]

¿Por qué [math] \ displaystyle \ space \ pi + [/ math]?

[matemáticas] \ displaystyle \ porque \ frac {1} {x ^ {2} \ left (1-x ^ {2} \ right)}> 1 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ pi + \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {x ^ {4} + 1-x ^ {2}} {\ left (x ^ {2} -x ^ {4 } -1 \ right) x} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ pi + \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {-1} {x} \ right) = \ frac {3 \ pi} {4} \ Rightarrow \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {-1} {x} \ right) = \ frac {- \ pi} {4} \ Rightarrow x = 1 [/ math]

Entonces, el número de soluciones en [math] \ displaystyle \ space (0,1) \ space [/ math] es [math] \ displaystyle 0 [/ math].

Shukriya 🙂

Answer 2

Su pregunta depende de la aplicación de dos identidades importantes de funciones trigonométricas inversas.
tan ^ (- 1) x-tan ^ (- 1) y = tan ^ (- 1) ((xy) / (1 + xy)).
π / 2-tan ^ (- 1) x = cot ^ (- 1) x

Espero que hayas entendido …