Primero, creo que es importante entender que las ecuaciones diferenciales representan cómo cambia una variable con respecto a otras variables en un sistema. Cuando las ecuaciones diferenciales tienen una solución de forma cerrada, es posible usar la solución analítica directamente en los cálculos, y no requieren soluciones numéricas al problema. Un buen ejemplo sería un sistema de amortiguador de masa de resorte, o más generalmente, una ecuación diferencial homogénea de segundo orden.
Las cosas comienzan a complicarse cuando se introducen tensores, o terminas teniendo que resolver problemas multidimensionales, es decir, una solución sobre un campo. Aquí es donde entran las computadoras, y utilizamos soluciones numéricas para resolver el problema. Las computadoras tienen la capacidad de realizar operaciones aritméticas básicas de forma iterativa sobre el dominio que desea resolver. Con algo de magia numérica y una cuidadosa selección del método numérico para el problema (vea el método Runge-Kutta para la solución del ejemplo anterior como punto de partida), podemos convertir una ecuación diferencial en un conjunto de ecuaciones algebraicas que las computadoras pueden resolver con facilidad.
Esta es una explicación muy superficial de lo que hacen las computadoras para resolver DE, pero espero que esto ayude.
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