Cómo explicar cómo se ve una ecuación diferencial en el contexto de una computadora

Primero, creo que es importante entender que las ecuaciones diferenciales representan cómo cambia una variable con respecto a otras variables en un sistema. Cuando las ecuaciones diferenciales tienen una solución de forma cerrada, es posible usar la solución analítica directamente en los cálculos, y no requieren soluciones numéricas al problema. Un buen ejemplo sería un sistema de amortiguador de masa de resorte, o más generalmente, una ecuación diferencial homogénea de segundo orden.

Las cosas comienzan a complicarse cuando se introducen tensores, o terminas teniendo que resolver problemas multidimensionales, es decir, una solución sobre un campo. Aquí es donde entran las computadoras, y utilizamos soluciones numéricas para resolver el problema. Las computadoras tienen la capacidad de realizar operaciones aritméticas básicas de forma iterativa sobre el dominio que desea resolver. Con algo de magia numérica y una cuidadosa selección del método numérico para el problema (vea el método Runge-Kutta para la solución del ejemplo anterior como punto de partida), podemos convertir una ecuación diferencial en un conjunto de ecuaciones algebraicas que las computadoras pueden resolver con facilidad.

Esta es una explicación muy superficial de lo que hacen las computadoras para resolver DE, pero espero que esto ayude.

Las ecuaciones diferenciales son una forma de analizar fenómenos biológicos, químicos, físicos y económicos. El proceso de derivar estas ecuaciones se llama modelado matemático, y cuando hablamos de desarrollar un modelo, simplemente podemos referirnos a encontrar ecuaciones que describan una situación.

Muchas de las ecuaciones no pueden resolverse en el sentido tradicional, donde terminamos resolviendo una ecuación diferencial (o sistema de ecuaciones diferenciales) obteniendo soluciones analíticas (simbólicas).

Lo más probable es que las ecuaciones que describen los fenómenos (el modelo) tengan que resolverse numéricamente. La rama general de las matemáticas que se ocupa de resolver cualquier tipo de ecuación de forma aproximada se llama análisis numérico. Es esta área de las matemáticas que diseña algoritmos que se pueden implementar en una computadora.

Con ecuaciones diferenciales hay varios algoritmos que son posibles. Dos populares son las técnicas de diferencias finitas y elementos finitos. Estos métodos son potentes, pero una computadora es vital para obtener el máximo beneficio de ellos.

Algunas de las primeras computadoras fueron construidas específicamente para resolver aproximadamente ciertas ecuaciones diferenciales. De hecho, ese era el propósito de las computadoras a vapor de Babbage, integradas (si mal no recuerdo) en el siglo XIX.

Diseñar juegos de computadora a menudo implica ahora el uso de “física de juegos”, que implica ecuaciones diferenciales. Su juego puede funcionar mejor si puede resolver aproximadamente ecuaciones diferenciales sobre la marcha.