Cómo determinar la forma de la gráfica de la siguiente ecuación

Answer 1

Considera esto

[matemáticas] \ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} + \ dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

Este es un elipsoide

Considera esto

[matemáticas] \ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = \ dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} [/ matemáticas]

Este es un cono

Este es un hiperboloide

¿Notas la diferencia?

Si trazamos las líneas de contorno en esas imágenes en 3D y las proyectamos en un plano 2D, obtendremos su mapa de contorno correspondiente (elipse sucesiva para el elipsoide e hipérbola para el hiperboloide).

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Este no es un cilindro elíptico porque el coeficiente [math] z ^ 2 [/ math] es negativo

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La ecuación de un cilindro hiperbólico viene dada por …

[matemáticas] \ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} – \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas] o

[matemáticas] \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} – \ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

Déjame reescribir tu ecuación como

[matemáticas] (x_1 + 2y_1) ^ 2-z ^ 2–1 = 0 [/ matemáticas]

Observe que en su ecuación, se han utilizado las siguientes transformaciones …

[matemáticas] x = x_1 + 2y_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = z [/ matemáticas]

Úsalos en la ecuación del cilindro hiperbólico y la verdad te liberará.

Saludos 🙂

Answer 2

La ecuación es [matemática] x ^ 2 + 4xy + 4y ^ 2-z ^ 2 = 1 [/ matemática].

Deje que [math] A = \ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix} [/ math] y [math] X = \ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end { pmatrix} [/ math]. La ecuación es [matemática] X ^ \ top \! AX = 1 [/ matemática].

Ahora puede ver que la parte superior izquierda [matemática] 2 \ veces2 [/ matemática] extrae la matriz de [matemática] A [/ matemática] es simétrica y diagonalizable, por lo que hay algunas constantes [matemática] a, b [/ matemática] y algunas variables [matemática] u, v [/ matemática] tal que [matemática] au ^ 2 + bv ^ 2-z ^ 2 = 1 [/ matemática] (de hecho [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [ / math] son ​​los valores propios de la matriz extraída). Esto produce exactamente la misma curva, pero rota alrededor del eje [matemático] z [/ matemático].

Calculamos valores propios, y produce [matemáticas] a = 5, b = 0 [/ matemáticas]. Entonces la ecuación es [matemática] 5u ^ 2-z ^ 2 = 1 [/ matemática] y no depende de [matemática] v [/ matemática]. Esto es claramente hiperbólico, y se parametriza con [math] u (t, s) = \ dfrac {1} {\ sqrt {5}} \ cosh (t), [/ math] [math] z (t, s) = \ sinh (t) [/ math] y [math] v (t, s) = s [/ math]. Ahora [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son ​​solo algunas combinaciones de [math] u [/ math] y [math] v [/ math], así que finalmente [math] x (t, s) = \ alpha \ cosh (t) + \ beta s, y (t, s) = \ gamma \ cosh (t) + \ delta s, z (t, s) = \ sinh (t) [/ math] .

Puede hacer este pequeño truco con matrices si respeta dos condiciones: la ecuación implícita debe ser de la forma [matemáticas] a_1x ^ 2 + a_2y ^ 2 + a_3z ^ 2 + a_4xy + a_5xz + a_6yz = c [/ matemáticas] (de lo contrario, hacer traducciones adecuadas de las variables para centrar la curva en el origen);

y la matriz debe ser simétrica, para que la ecuación simplificada produzca la misma curva pero rotada (siempre puede forzarla a ser simétrica, solo resuélvala).

Answer 3

La ecuación [matemáticas] (x + 2y) ^ {2} -z ^ {2} -1 = 0 [/ matemáticas] probablemente no sea un cilindro hiperbólico. Creo que es una superficie cuádrica llamada hiperboloide elíptico .

Prueba:

Expandiendo la ecuación tenemos [matemáticas] x ^ {2} + 4xy + 4y ^ {2} -z ^ {2} -1 = 0 [/ matemáticas]. Utilizando la rotación de coordenadas en el plano xy [matemáticas] x = x \ prime \ cos \ theta-y \ prime \ sin \ theta [/ math], [matemáticas] y = x \ prime \ sin \ theta + y \ prime \ cos \ theta [/ math] para eliminar el término xy en la ecuación anterior, obtenemos [math] x \ prime ^ {2} (\ cos ^ {2} \ theta + 4 \ cos \ theta \ sin \ theta + 4 \ sin ^ {2} \ theta) + y \ prime ^ {2} (\ sin ^ {2} \ theta-4 \ cos \ theta \ sin \ theta + 4 \ cos ^ {2} \ theta) + x \ prime y \ prime (-2 \ cos \ theta \ sin \ theta + 4 \ cos ^ {2} \ theta-4 \ sin ^ {2} \ theta + 8 \ cos \ theta \ sin \ theta) -z ^ { 2} -1 = 0. [/matemáticas]

Establecemos el coeficiente del término [math] x \ prime y \ prime [/ math] en cero. Esto nos da [matemática] \ tan 2 \ theta = – \ frac {3} {4} [/ matemática]. En el sistema de coordenadas x ‘, y’, z, la ecuación de la superficie se convierte en [matemática] Ax \ prime ^ {2} + Por \ prime ^ {2} -z ^ {2} -1 = 0 [/ matemática], donde los coeficientes A y B se pueden obtener del ángulo de rotación. Esta ecuación se puede comparar con [matemáticas] \ frac {x ^ {2}} {A ^ {2}} + \ frac {y ^ {2}} {B ^ {2}} – \ frac {z ^ {2 }} {C ^ {2}} = 1 [/ math] que es un hiperboloide elíptico . Entonces, la superficie en la pregunta podría ser un hiperboloide elíptico.