Cómo resolver ecuaciones de la forma [matemáticas] a ^ x + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Más duro de lo que esperaba. Pero aquí tienes:

Utilizamos la función Lambert-W que se define como la inversa de [math] xe ^ x [/ math], por lo que podemos seguir el siguiente paso:

[matemáticas] \ begin {align *} z & = ue ^ u \\ W (z) & = u \ end {align *} [/ math]

Por lo tanto, tratamos de obtener la ecuación en forma de [math] ue ^ u [/ math].

[matemáticas] \ begin {align *} \ displaystyle a ^ x + bx + c & = 0 \\ 1 & = \ frac {- (bx + c)} {a ^ x} \\ a ^ {- \ tfrac {c} {b}} & = \ frac {- (bx + c)} {a ^ x \ cdot a ^ {\ tfrac {c} {b}}} \\ \ frac {a ^ {- \ tfrac {c} { b}}} {b} & = \ frac {- \ left (x + \ tfrac {c} {b} \ right)} {a ^ x \ cdot a ^ {\ tfrac {c} {b}}} \ \ \ frac {a ^ {- \ tfrac {c} {b}}} {b} & = – \ left (x + \ tfrac {c} {b} \ right) \ cdot a ^ {- \ left (x + \ tfrac {c} {b} \ right)} \\ \ frac {a ^ {- \ tfrac {c} {b}} \ log a} {b} & = – (\ log a) \ left (x + \ tfrac {c} {b} \ right) \ cdot e ^ {- (\ log a) \ left (x + \ tfrac {c} {b} \ right)} \\ W \ left (\ frac {a ^ {- \ tfrac {c} {b}} \ log a} {b} \ right) & = – (\ log a) \ left (x + \ tfrac {c} {b} \ right) \\ \ frac {W \ left (\ frac {a ^ {- \ tfrac {c} {b}} \ log a} {b} \ right)} {- \ log a} & = x + \ tfrac {c} {b} \\ \ frac {W \ left (\ frac {a ^ {- \ tfrac {c} {b}} \ log a} {b} \ right)} {- \ log a} – \ frac {c} {b } & = x \\ \ frac {-bW \ left (\ frac {a ^ {- \ tfrac {c} {b}} \ log a} {b} \ right) – c \ log a} {b \ log a} & = x \\ \ end {align *} [/ math]

Wolfram Alpha confirma:

Esta es la ecuación cuadrática, por lo tanto, puede usar la fórmula cuadrática para resolverla: Fórmula cuadrática