¿Están relacionadas las ecuaciones diferenciales y la geometría diferencial? Educación te da un futuro mejor

Estoy totalmente en desacuerdo con la respuesta de Joseph, especialmente cuando dice que la geometría diferencial es difícil de conectar con el cálculo. Incluso las raíces de la geometría diferencial, siguiendo directamente a Riemann, fueron los esfuerzos de Christoffel, Ricci, Levi-Civita y otros, para escribir formas covariantes de los operadores de cálculo estándar. Además, las ecuaciones fundamentales más famosas en geometría diferencial, las ecuaciones de Gauss-Codazzi, son ecuaciones diferenciales parciales (realmente, ‘condiciones de integrabilidad’) que deben satisfacer los tensores intrínsecos y extrínsecos de un submanifold.

Cuando se trata de la investigación actual, en mi opinión, sería difícil hacer geometría diferencial sin hacer ecuaciones diferenciales, en particular PDE no lineal. La aplicación directa de PDE lineal en geometría diferencial se remonta al menos a Bochner en la década de 1940, quien demostró que las formas diferenciales paralelas satisfacen ciertas ecuaciones diferenciales elípticas; utilizó la singularidad de las soluciones de esas ecuaciones, a través del principio máximo, para obtener información cohomológica sobre la variedad subyacente. Creo que fue el notable trabajo de Shing-Tung Yau en la década de 1970 (que culminó con su solución de la conjetura de Calabi) lo que introdujo activamente PDE auxiliares no lineales como una técnica de estudio de la geometría diferencial.

Aquí hay algunas áreas fundamentales de investigación actuales:

Ricci fluye. Esta es una ecuación similar al calor para el tensor métrico de un múltiple. Richard Hamilton lo introdujo en la década de 1980 y lo usó para uniformar las métricas bajo algunas restricciones de curvatura. En los casos en que no hay restricciones de curvatura, la solución del PDE generalmente tiene ciertas singularidades y pueden decirle algo sobre la variedad subyacente. Grigori Perelman ganó una medalla de campo en 2006 por contribuir a la comprensión de este análisis de singularidad. En mi opinión, el trabajo combinado de Hamilton y Perelman es lo más destacado de la geometría diferencial moderna.
El problema de Kähler-Einstein. Esto se remonta a la solución seminal de Shing-Tung Yau de la conjetura de Calabi (que también ganó una medalla de campo), en la que demostró que cierta PDE no lineal es solucionable. El PDE era una ecuación de Monge-Ampere, lo que significa que la forma básica es prescribir el determinante de la matriz de segundas derivadas de la función a resolver. Una generalización importante de esto fue resuelta recientemente por Xiuxiong Chen, Simon Donaldson y Song Sun; nuevamente, el problema era resolver una ecuación de Monge-Ampere. La PDE en estos casos tiene un significado geométrico concreto, que es más o menos la compleja generalización múltiple de la afirmación de que cualquier superficie bidimensional tiene una métrica de curvatura constante. Esto también se puede tomar en la dirección de buscar variedades Riemannianas de holonomía especial: Marcel Berger demostró en los años 50 que cualquier variedad Riemanniana irreducible (aproximadamente, una que no es una métrica de producto local) tiene solo siete grupos de holonomía posibles. Es bastante difícil encontrar ejemplos de la mayoría de los siete. Uno de ellos es el grupo unitario especial: Yau demostró que esto ocurre con bastante frecuencia, a través de su solución de la conjetura de Calabi. También están las métricas quaternion-Kähler e hyperKähler, que creo que generalmente se construyen a través de algunos supuestos de simetría y álgebra. Durante mucho tiempo se desconocía si los grupos G2 y Spin (7), que también aparecen en la lista de Berger, pueden aparecer como grupos de holonomía. En las décadas de 1980 y 1990, Robert Bryant y Dominic Joyce finalmente demostraron que todos ocurren. Creo que las variedades G2 actualmente son de interés en física teórica, siguiendo el trabajo de Michael Atiyah y Edward Witten de 2000 donde estudiaron la teoría M sobre las variedades G2, pero no sé nada sobre esa área.
Curvas pseudoholomórficas. En una variedad casi compleja, uno puede pedir submanifolds holomórficos bidimensionales. El gran descubrimiento de Mikhael Gromov en la década de 1980 fue que cuando la estructura casi compleja tiene una estructura simpléctica compatible, estos submanifolds pueden controlarse con un teorema de compacidad y algunos resultados de existencia general; El estudio de la colección de todos esos submanifolds se convierte en un problema inmediato y manejable. Este campo se llama teoría de Gromov-Witten y es una piedra angular de la geometría simpléctica moderna. (La PDE relevante aquí es esencialmente las ecuaciones de Cauchy-Riemann).
Superficies mínimas. El estudio de estos en geometría diferencial se remonta, creo, a principios de 1800 y tal vez incluso a fines de 1700. El PDE solicita un submanifold de una variedad Riemanniana dada para que tenga una curvatura media que se desvanece. En el caso de codimensión 1, esta es una PDE elíptica cuasilineal de segundo orden, mientras que en el caso de codimensión superior, es un sistema elíptico más complicado. Una teoría de existencia general para superficies mínimas se desarrolló en la década de 1930 y ganó la primera medalla de campo (para Jesse Douglas). La teoría de la regularidad de las soluciones se comprendió mejor en los años setenta y ochenta, y William Meeks, Shing-Tung Yau y otros los utilizaron en cierta medida para comprender la topología de tres tipos. Hace quince años, Tobias Colding y William Minicozzi lograron un avance en la comprensión de la estructura local de superficies mínimas en el espacio euclidiano tridimensional; Todos los detalles todavía no parecen ser ampliamente entendidos, pero ha puesto en marcha una nueva dirección de investigación. Las superficies mínimas en codimensiones superiores son mucho menos conocidas, pero son muy buscadas, especialmente en forma de lagrangianos especiales, que son muy relevantes para la forma de simetría de espejo de Strominger-Yau-Zaslow. Incluso el problema de Dirichlet para gráficos en codimensión más alta es mucho más sutil que el caso de la hiperesuperficie; se sabe que un resultado de existencia incondicional no es cierto incluso en casos muy simples (cf. Lawson-Osserman), aunque hay algunos resultados de existencia conocidos bajo algunos supuestos adicionales (hay un documento de CPAM 2004 de Mu-Tao Wang; I ‘ No estoy seguro de nuevos desarrollos). La teoría de la medida geométrica proporciona ciertas soluciones irregulares en general.
Incrustación isométrica. Dado un colector riemanniano, se puede pedir que se inserte isométricamente en algún otro colector riemanniano (generalmente espacio euclidiano). Esto plantea inmediatamente un sistema de PDE de primer orden. En el caso de las superficies de inclusión isométrica en el espacio tridimensional euclidiano o hiperbólico, estos pueden reformularse como una PDE elíptica, y esto fue resuelto en general por Alexei Pogorelov y Louis Nirenberg en los años 40 y 50. Además, en los años 50, John Nash demostró que cada múltiple riemanniano se integra isométricamente sin problemas en algún espacio euclidiano. Su ingeniosa prueba se basó en lo que ahora se conoce como el teorema de la función implícita de Nash-Moser, que muestra la solvencia perturbativa para una clase muy general de PDE. El teorema de Nash-Moser se ha utilizado ampliamente en PDE desde entonces (por ejemplo, en el primer artículo de Hamilton sobre el flujo de Ricci, para construir soluciones de su ecuación). También demostró, utilizando métodos totalmente diferentes, que cada colector riemanniano se integra isométricamente, de manera algo irregular, en espacios euclidianos de una dimensión sorprendentemente pequeña. Estos métodos, generalizados por Gromov en ‘integración convexa’, se han utilizado recientemente para construir soluciones irregulares de las ecuaciones de la mecánica de fluidos (cf. ‘Conjetura de Onsager’)
Teoría de Yang-Mills y Seiberg-Witten. Este es otro sistema elíptico de segundo orden, para secciones de un determinado conjunto de vectores sobre un múltiple de 4. Basado en los resultados de existencia de Clifford Taubes y las estimaciones de soluciones de Karen Uhlenbeck, Simon Donaldson ganó una medalla de campo por estudiar la colección de todas las soluciones en un conjunto dado y vincularla a la topología subyacente del conjunto. Su idea clave (creo) fue reconocer que el espacio de soluciones del PDE auxiliar Yang-Mills proporciona directamente un coordismo entre la variedad dada y una colección de espacios proyectivos complejos. Más tarde, los físicos Nathan Seiberg y Edward Witten proporcionaron una alternativa a Yang-Mills para la cual el análisis es más fácil (creo que las ecuaciones son menos no lineales, y la teoría de la compacidad es más fácil, aunque no estoy seguro), y esto es más ampliamente estudiado hoy en día. (Tampoco estoy seguro de si esto contribuyó a la medalla de campo de Witten).
Geometría conforme. La pregunta básica solía ser el problema de Yamabe: si cualquier métrica de Riemann se puede multiplicar por un factor conforme para obtener una métrica de Riemann con curvatura escalar constante. Esto se convierte en una PDE elíptica de segundo orden para el factor conforme. En la década de 1980, Richard Schoen completó el análisis para resolver el problema, aunque generalmente hay más de una solución. Recientemente se ha obtenido una comprensión satisfactoria de la multiplicidad de soluciones de las contribuciones de Simon Brendle, Marcus Khuri, Fernando Marques y Schoen. Todavía hay varios problemas abiertos que ver con PDE de orden superior en geometría conforme, creo que principalmente para comprender completamente la curvatura Q de cuarto orden de Branson.
Curiosamente, el análisis de Schoen del problema PDE de Yamabe invoca el teorema de masa positiva de Schoen y Yau a partir de la relatividad general. El estudio de las soluciones de vacío de las ecuaciones de campo de Einstein es un problema geométrico claramente redactado (“buscar / en las variedades de Lorentzian planas de Ricci”), cuyo estudio ha implicado muchos análisis no triviales. Los aspectos más destacados en la literatura matemática serían el uso de Schoen y Yau de superficies mínimas y el uso de spintores de Witten para probar el teorema de masa positiva, la construcción de Christodoulou y Klainerman de perturbaciones no lineales del espacio-tiempo de Minkowski (estudiando las ecuaciones completas de Einstein como un sistema hiperbólico de PDE) , El estudio de Huisken e Ilmanen del flujo de curvatura media inversa (muy vagamente como una versión submúltiple del flujo Ricci de Hamilton) y el estudio de Bray del problema isoperimétrico alrededor de los agujeros negros para probar la desigualdad de Penrose en ciertos casos, y la construcción más reciente de Christodoulou de superficies atrapadas (y, por lo tanto, singularidades espacio-temporales, y probablemente agujeros negros) de datos iniciales regulares.