¿Cuál es la solución de [math] \ sqrt {3} \ cos (x) – \ sin (x) = 0 [/ math]?

Pues es fácil.

(3) ^ (1/2) * cos x – sen x = 0

((3) ^ (1/2) / 2) * cos x – (1/2) * sen x = 0

cos 30 * cos x – sen 30 * sen x = 0

cos (30 + x) = 0

30 + x = 2 * n * pi + – 90

x = 2 * n * pi + – 60

Pero, ¿cómo lo hice ………

Considera una ecuación,

a * cos x + b * sen x = c

Consideremos que a = base del triángulo en ángulo recto, b = altura.

Entonces hipotenusa = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2)

Ahora suponga que y es un ángulo tal que cos y = (a / (a ​​^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2)) y sen y = (b / (a ​​^ 2 + b ^ 2) ^ (1 / 2))

Divide toda la ecuación entre (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2)

(a / (a ​​^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2)) * cos x + (b / (a ​​^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2)) * sen x = (c / ( a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2))

cos y * cos x + sen y * sen x = cos z [z = cos inverso (c / (a ​​^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2))]

cos (yx) = cos (z)

yx = 2 * n * pi + – z

Ahora espero que haya entendido cómo resolver este tipo de ecuaciones ……….

El secreto sucio sobre los problemas trigonométricos es que los maestros usan principalmente los dos triángulos rectángulos principales que tienen buenas funciones trigonométricas, 45, 45, 90 y 30, 60, 90. El primero es isósceles y, por lo tanto, tiene el mismo coseno y seno: [matemáticas] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ math]. El último es la mitad de un triángulo equilátero, por lo que el lado corto, uno de coseno o seno, es [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas] y el otro es [matemáticas] \ frac {\ sqrt {3} } {2} [/ matemáticas]. Puede derivar todo esto fácilmente de [math] \ cos ^ 2 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta = 1 [/ math].

Aquí vemos un [math] \ sqrt {3} [/ math] así que tenemos una buena pista de que está involucrado un triángulo 30 60 90.

[matemáticas] \ sqrt 3 \ cos x – \ sin x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt 3 \ cos x = \ sin x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt 3 = \ frac {\ sin x} {\ cos x} = \ tan x [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ arctan \ sqrt {3} [/ matemáticas]

En un ángulo de 60 grados (1/6 de un círculo, [matemáticas] \ frac {2 \ pi} {6} = \ frac {\ pi} {3} [/ matemáticas]) el lado corto de los 30,60, El triángulo 90 es el coseno, es decir, [matemática] \ cos \ frac \ pi 3 = \ frac 1 2 [/ matemática], [matemática] \ sin \ frac \ pi 3 = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ math], entonces [math] \ tan \ frac \ pi 3 = \ frac {\ sqrt {3} / 2} {1/2} = \ sqrt 3 [/ math].

Arctan no es una función de valor individual: podemos agregar múltiplos de [math] \ pi [/ math] a cualquier ángulo sin cambiar su tangente. Entonces, para todos los enteros [matemáticas] k [/ matemáticas], las soluciones son

[matemáticas] x = \ arctan \ sqrt {3} = \ frac \ pi 3 + k \ pi [/ matemáticas]

Hecho del día: hay un triángulo rectángulo bastante bueno más que los maestros nunca usan: 36, 54, 90. [matemáticas] \ cos 36 ^ \ circ = \ cos \ frac {\ pi} {5} = \ frac 1 4 (1 + \ sqrt {5}) [/ math]. ¡Eso es la mitad de la proporción áurea!

La forma en que generalmente les digo a mis alumnos que resuelvan tales ecuaciones es usar identidades de ángulos compuestos para convertir [matemáticas] a \ cos x + b \ sen x [/ matemáticas] en la forma [matemáticas] R \ sin (x + \ alpha) [ / math] o [math] R \ cos (x + \ alpha) [/ math]. La ventaja de este método es que funciona incluso si el lado derecho no es cero (dividir por [matemáticas] \ cos x [/ matemáticas] en tal caso no dará lugar a nada interesante).

Soy muy consciente de que la mayoría de las personas se dividen por [matemáticas] \ cos x [/ matemáticas] aquí, pero aquí está la cosa: [matemáticas] \ cos x [/ matemáticas] podría ser igual a cero, por lo que esencialmente se divide por cero si decides dividir entre [matemáticas] \ cos x [/ matemáticas]. Entonces, antes de dividir entre [matemáticas] \ cos x [/ matemáticas], necesita convencerme de que [matemáticas] \ cos x \ ne 0 [/ matemáticas]. Afortunadamente, esto no es difícil:

Suponga que [math] \ cos x = 0 [/ math]. Entonces [math] x = n \ pi + \ frac {\ pi} {2} [/ math] para algún número entero [math] n [/ math]. En ese caso, [matemáticas] \ sen x = (-1) ^ n [/ matemáticas]. Al sustituir estos valores en nuestra ecuación, obtenemos [math] \ sqrt {3} (0) – (-1) ^ n = 0 [/ math], lo cual es una contradicción. Por lo tanto, [matemáticas] \ cos x \ ne 0 [/ matemáticas].

Ahora, y solo ahora, es libre de dividir por [math] \ cos x [/ math] y proceder como en las respuestas dadas por Quora User o Natalia Nezvanova.

Como dije al principio, me gusta simplemente evitar estas objeciones reemplazando [math] \ sqrt {3} \ cos x – \ sin x [/ math] por [math] 2 \ cos \ left (x + \ frac {\ pi} {6} \ right) [/ math]. Estamos justificados para hacerlo ya que, usando fórmulas de ángulo compuesto,

[matemáticas] 2 \ cos \ left (x + \ frac {\ pi} {6} \ right) = 2 \ cos x \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – 2 \ sin x \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ sqrt {3} \ cos x – \ sin x. [/ math]

Por lo tanto, simplemente necesitamos resolver

[matemáticas] \ cos \ left (x + \ frac {\ pi} {6} \ right) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x + \ frac {\ pi} {6} = n \ pi + \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas] para algún número entero [matemáticas] n [/ matemáticas]

[matemáticas] x = n \ pi + \ frac {\ pi} {3} [/ matemáticas] para algún número entero [matemáticas] n [/ matemáticas].

x = pi / 3