¿Cómo se puede decir que las ‘ecuaciones’ matemáticas describen algo si simplemente afirman que algo es igual a otra cosa?

Answer 1

Al menos tres niveles:

1. A través de ecuaciones se describen los límites.

Se puede comparar con la “ley de conservación de energía” que establece, haga lo que haga, la cantidad de energía es la misma (igualdad en el tiempo). Sin embargo, la distribución de energía puede variar dentro (“dentro”) de un sistema. Igual que la “ley de conservación de sillas”: si hay un cierto número de sillas en una habitación (cerrada), este número no cambiará, donde sea que coloque cualquiera de las sillas.

En física, muchos sistemas cerrados se describen como valores totales acotados, por ejemplo, lagrangianos, hamiltonianos, como [algo] = [algo], que se puede convertir trivialmente en expresión como [algo] = 0. Pero, ¿qué hay dentro de esas cosas? , no es tan trivial:

2. Los valores en las ecuaciones pueden provenir de diferentes dominios de la realidad.

Por ejemplo, “distancia” = “velocidad” x “tiempo”. Lo que, de manera más general, es el resultado de “ecuaciones diferenciales” que describen la dependencia del cambio del estado actual. Como la ecuación del péndulo en la respuesta de Danya Rose. La dependencia en sí misma entre el cambio y el estado es siempre constante (“ecuación”), pero el cambio dinámico en las cosas está obviamente presente.

3. Atajos a través del espacio de tiempo / espacio matemático / lo que sea.

Como resultado de anteriores, las ecuaciones se pueden utilizar para obtener resultados que de otro modo serían más difíciles de obtener. Por ejemplo, teniendo una ecuación de tiempo cuadrática, describiendo el movimiento balístico, puede obtener la posición de un proyectil en cualquier momento, simplemente poniendo “t” en la ecuación. De lo contrario, tendría que observar / esperar / medir … o simplemente adivinar.

Answer 2

Pero eso es exactamente: las ecuaciones matemáticas indican que algo es igual a otra cosa.

La física entra cuando identificamos esas cosas con cosas que observamos en el universo que nos rodea. Por ejemplo, podemos encontrar que la fuerza que actúa sobre un objeto es proporcional a su aceleración. Y la misma fuerza que actúa sobre otro, el doble de objeto pesado produce la mitad de la aceleración. El físico utiliza las matemáticas como lenguaje para describir esta relación empírica de manera precisa e inequívoca, utilizando la fórmula [matemática] F = ma [/ matemática].

Answer 3

Creo que esta es una pregunta intrigante. La afirmación de que la parte izquierda es igual a la parte derecha tiene sentido y, por lo tanto, describe algo solo si las partes izquierda y derecha son de alguna manera “inicialmente” diferentes y hay un procedimiento para compararlas. Veamos algo simple, como 1 + 1 = 2. Hay 3 objetos. 2 de ellos son iguales inicialmente (1 y 1) y tenemos un método para compararlos para verificar, también hay un objeto diferente (2). El sentido de la operación “plus” es que podemos (de alguna manera) hacer un nuevo objeto de los dos. Entonces hacemos esto, construimos un nuevo objeto sumando 1 y 1 y luego comparamos el resultado con algo que ya teníamos en la tienda, con el objeto etiquetado 2. Y sí, ¿sabes lo que pasó? ¡Se ajustan con precisión! Eso es lo que te dice la ecuación. Así es como se encriptan los conceptos básicos de medición en matemáticas.

Answer 4

Las matemáticas tienen que ver con la estructura. Podemos inventar ecuaciones matemáticas, o sistemas de ecuaciones, que tienen estructuras específicas que relacionan varios componentes de las ecuaciones entre sí.

Decimos que un sistema de ecuaciones es un modelo para algo si suponemos que hay alguna similitud entre la evolución que observamos en nuestro modelo abstracto y la evolución que observamos de lo físico.

Los modelos pueden ser probados para ver qué tan precisos son. Es decir, para citar a George Box, “Todos los modelos están equivocados, pero algunos son útiles”.

Por ejemplo, tomemos una ecuación diferencial como

[matemáticas] \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} = – \ omega ^ 2x [/ matemáticas],

donde [math] x, t \ in \ mathbb {R} [/ math] y [math] \ omega \ in \ mathbb {R} ^ + [/ math]

Este modelo tiene soluciones de la forma

[matemáticas] x (t) = A \ cos (\ omega t) + B \ sin (\ omega t) [/ matemáticas],

donde [math] A [/ math] y [math] B [/ math] son ​​constantes arbitrarias.

Lo que esto significa es que las cantidades tomadas por [math] x [/ math] son ​​de naturaleza oscilatoria ya que [math] t [/ math] varía, siempre que al menos una de [math] A [/ math] y [ matemática] B [/ matemática] no es cero (si ambos lo son, esto todavía satisface la ecuación diferencial, pero de manera trivial).

Podríamos proponer que esto modele la oscilación de un péndulo siempre que el péndulo no oscile demasiado. Si profundizamos en la física, obtendríamos [matemática] \ omega [/ matemática] en términos de algunos componentes físicos del sistema (en particular, la longitud de la barra o cuerda del péndulo y la fuerza de aceleración debida a la gravedad ¡Y no la masa!).

Resulta que la ecuación diferencial anterior (llamada oscilador armónico simple) es de hecho un buen modelo para un péndulo real bajo ciertas condiciones. Es posible escribir un modelo más preciso que represente el comportamiento del sistema cuando las oscilaciones se amplíen y que tenga una estructura diferente.

Entonces, se trata de relaciones entre las cosas y la estructura de esas relaciones, realmente.

Answer 5

En realidad estaba respondiendo otra pregunta, de alguna manera, no sé qué hice al ponerlo aquí. Moveré esta respuesta a otra pregunta y la eliminaré más tarde. Lo siento por los inconvenientes ocasionados.

Es una pregunta muy interesante, ya que podría ser un tema en la educación matemática. De hecho, tengo esta pregunta en mente durante bastante tiempo, pero no tengo una buena respuesta.

Para mí, para enteros pequeños, tendría la misma cantidad de algunos objetos en mi mente. Más allá de eso, diría que tengo el concepto en mi mente. A menudo tengo las expresiones escritas en mi mente cuando uso otros tipos de números.

Sin embargo, nunca trato de recordar ningún número, en cambio trato de recordarlo entendiendo los métodos detrás. En general, diría que es difícil describir el proceso, que en realidad es un buen tema en la educación matemática. Por ejemplo, es una buena idea contar objetos concretos para que los niños aprendan matemáticas.

Answer 6

Si tomas la ecuación E = mc ^ 2, obtienes una afirmación que dice que la energía es la misma que la materia, ¡o podrías decir que la materia es una energía muy altamente concentrada!

Supongo que todas las ecuaciones no son tan profundas. Algunas ecuaciones se usan para calcular la cantidad de algo que necesita para hacer otra cosa, ¡pero siguen siendo muy útiles!

Gracias por la pregunta!

Answer 7

Cuando dos cosas son iguales en matemáticas, significa que esos dos objetos son el mismo objeto. Por ejemplo, la declaración 1 + 1 = 2 significa que 1 + 1 y 2 son el mismo objeto. De esto, podemos deducir que 1 + 1 es un número primo, así como otras cosas. Entonces, de alguna manera, al afirmar que 1 + 1 = 2 estamos afirmando que 1 + 1 es un número primo y 2 es 1 más que 1. Esto cuenta como descripción ya que nos da información sobre los objetos con los que estamos tratando.

Veamos un ejemplo más concreto.

“La chica con el pelo rizado es la única que participó en la prueba”.

En este caso, estamos afirmando esencialmente que la niña con cabello rizado es igual a la única que participó en la prueba. La igualdad describe a la niña con el cabello rizado al afirmar que ella también es la única que participó en la prueba. Dado que una descripción es realmente solo una lista de propiedades que tiene algo, una igualdad es una descripción porque comunica que dos objetos tienen las mismas propiedades.