Deje que las dos ecuaciones cuadráticas en cuestión sean:
[matemáticas] a_1x ^ 2 + b_1x + c_1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] a_2x ^ 2 + b_2x + c_2 = 0 [/ matemáticas]
Sin pérdida de generalidad, dejemos que [matemática] a_1x ^ 2 + b_1x + c_1 = 0 [/ matemática] sea la ecuación cuyas raíces se encuentran entre las raíces de la otra ecuación.
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Imagine las tramas de las parábolas correspondientes. Hay 4 casos posibles:
- Ambos apertura hacia arriba
- Ambos apertura hacia abajo
- Mayor apertura hacia arriba, menor hacia abajo
- Enfrente de 3.
También tenga en cuenta que la respuesta para todos estos casos es la misma.
Deje que [math] \ alpha_1, \ beta_1, \ alpha_2, \ beta_2 [/ math] sean las raíces, correspondientes a estas ecuaciones.
Sin pérdida de generalidad, [matemáticas] \ alpha_i <\ beta_i [/ matemáticas].
Entonces tenemos
[matemáticas] \ alpha_2 <\ alpha_1 \ le \ beta_1 <\ beta_2 [/ matemáticas]
Ahora, todo lo que queda por hacer es conectar los valores que obtienes de la ecuación cuadrática.
Nota: [matemática] \ alpha_2 <\ beta_2 [/ matemática], pero [matemática] \ alpha_1 \ le \ beta_1 [/ matemática] según las condiciones dadas