Tenemos la ecuación:
[matemáticas] \ sqrt {x + 3-4 \ sqrt {x-1}} + \ sqrt {x + 8-6 \ sqrt {x-1}} = 1 [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow \ sqrt {x-1 + 4 -4 \ sqrt {x-1}} + \ sqrt {x-1 + 9-6 \ sqrt {x-1}} = 1 [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow \ sqrt {\ left (\ sqrt {x-1} \ right) ^ {2} + 2 ^ {2} -2 \ times2 \ times \ sqrt {x-1}} + \ sqrt {\ left (\ sqrt {x-1} \ right) ^ {2} + 3 ^ {2} -2 \ times3 \ times \ sqrt {x-1}} = 1 [/ math]
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[matemáticas] \ Rightarrow \ sqrt {\ left (\ sqrt {x-1} -2 \ right) ^ {2}} + \ sqrt {\ left (\ sqrt {x-1} -3 \ right) ^ {2 }} = 1 [/ matemáticas]
Ahora, [matemáticas] \ sqrt {t ^ {2}} = \ mid t \ mid [/ math]
Entonces se simplifica a:
[matemáticas] \ mid \ sqrt {x-1} -2 \ mid + \ mid \ sqrt {x-1} -3 \ mid = 1 [/ matemáticas]
Llamemos a eso [math] \ sqrt {x-1} [/ math] como [math] m [/ math].
Entonces tenemos: [matemática] \ mid m -2 \ mid + \ mid m -3 \ mid = 1 [/ math]
El LHS [matemáticas] \ mid m -2 \ mid + \ mid m -3 \ mid [/ math] significa: [matemática] \ begin {cases} 5-2m & m \ leq2 \\ 1 & 2 3 \ end {casos} [/ matemática]
Esto se está equiparando a 1,
El LHS es siempre 1 para [matemáticas] 2 <m \ leq3 [/ matemáticas]
Para los valores infinitos de m entre 2 y 3, esto es cierto.
Estos m corresponden a x entre 5 y 10.
Entonces esa ecuación tiene infinitas raíces reales.