¿Por qué esta ecuación físicamente correcta no es dimensionalmente correcta? Mencionado en detalles

Answer 1

Una de las cosas descuidadas que casi siempre hacemos al escribir ecuaciones es omitir unidades. Si a los niños se les enseñara desde el primer día a escribirlos explícitamente, se cometerían muchos menos errores. A menudo veo a los estudiantes luchando por decidir si necesitan dividir o multiplicar por 60 cuando cambian las unidades de tiempo, mientras que si recuerdan que 60 segundos = 1 minuto y no solo usaron los números, no tendrían problemas.

Ahora su ecuación puede estar bien siempre que las unidades de sy a se elijan correctamente.

¡n no puede tener una unidad porque 2n – 1 solo tiene sentido si 2n y 1 tienen las mismas unidades!

Por supuesto, puede elegir unidades donde sy a sean iguales, ¡pero serían unidades inusuales!

Análisis Dimensional: Comience con lo que los estudiantes saben.

Answer 2

Primero, una ecuación podría funcionar con diferentes unidades si hay un factor de conversión implícito de 1. Como si estuvieras hablando de fotones, y tuvieras distancia de Planck en un lado y tiempo de Planck en el otro; la conversión requiere c, la velocidad de la luz, que es 1 en unidades de Planck.

Dicho esto, s = u + a / 2 * (2n-1) NO es correcto. Implica que si no aceleras, no te mueves. (si a = 0, entonces s = u) Si viajo a una velocidad inicial de 3 m / s, mantengo una aceleración constante de 0 durante 5,000 años, he viajado significativamente más allá de 3 m.

El correcto de debería ser algo como [math] s = un + \ frac {1} {2} an ^ 2 [/ math]

[EDITAR]

(Ver comentarios) Gracias por la aclaración. La ecuación original tiene la intención de describir qué tan lejos se mueve un objeto durante [math] n ^ {th} [/ math] segundo (o cualquier unidad de tiempo) de su viaje. Entonces [math] s [/ math] está en unidades de distancia, [math] u [/ math] es velocidad, pero también está en unidades de distancia (por 1 segundo está implícito) y [math] a [/ math] es aceleración, pero en unidades de velocidad (por 1 segundo está implícito), que cuando se multiplica por [matemáticas] n [/ matemáticas] (unidades de tiempo) da la distancia. En unidades, la ecuación se ve como [math] dist = dist + velocity * time [/ math], que es “dimensionalmente correcto”

Answer 3

Estoy de acuerdo con Rick A. Baartman: la ecuación ha olvidado incluir cuánto aumenta el tiempo para cada aumento en n.

Llamando al incremento de tiempo Δ t como sugiere Rick, la velocidad v después de incrementos de n-1 es
v = v0 + a * (n-1) * Δ t y la velocidad después de n incrementos es v = v0 + a * n * Δt

Entonces, la velocidad promedio durante el enésimo incremento es
((v0 + a * (n-1) * Δt) + (v0 + a * n * Δt)) / 2

que es v0 + (a / 2) * (2n-1) * Δ t

Entonces, durante el enésimo incremento, el cuerpo se mueve
(v0 + (a / 2) * (2n-1) * Δt) * Δt
cual es
(v0 * Δt + (a / 2) * (2n-1) * (Δt) ^ 2

Entonces, el término u de Dhiraj Sharma es igual a la constante v0 * Δt y la ecuación se convierte en
s = u + (a / 2) * (2n-1) * (Δt) ^ 2 que es dimensionalmente correcto. Quizás la ecuación original se basó en Δt = 1 segundo, pero si reemplaza “1 segundo” con “1”, entonces naturalmente pierde la corrección dimensional.

Answer 4

Porque [matemáticas] \ frac {a} {2} (2n – 1) = an – \ frac {a} {2} [/ matemáticas]. Si a tiene unidades de aceleración, te quedan unidades de velocidad (suponiendo que n es el tiempo, no el tiempo al cuadrado) y unidades de aceleración. Tampoco lo son las unidades de distancia. De hecho, ni siquiera tiene sentido dimensionalmente restar estos dos.

Answer 5

No es posible ser físicamente correcto sino dimensionalmente incorrecto. Dimensionalmente incorrecto significa que no tiene sentido.

¿Qué quieres decir con [matemáticas] n [/ matemáticas] a veces? ¿Asume incrementos de tiempo de igual duración? Entonces te estás perdiendo el incremento de tiempo. Llámelo [matemáticas] \ Delta t [/ matemáticas]. Debe multiplicarse por [math] a [/ math]. [matemática] a \ Delta t [/ matemática] es el cambio de velocidad en cada incremento de tiempo.