¿Por qué seccionar un cono con un plano da lugar a una ecuación cuadrática?

Answer 1

Un cono se define como [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = k ^ 2 z ^ 2 [/ matemática] donde [matemática] k [/ matemática] es una constante.

Tomemos una parametrización del plano con s, t las dos variables, entonces [math] x = x_0 + as + bt, y = y_0 + cs + dt, z = z_0 + es + ft [/ math], (los vectores [matemática] (a, c, e) [/ matemática] y [matemática] (b, d, f) [/ matemática] son ​​linealmente independientes).

Para encontrar la ecuación de la intersección, sustituya las ecuaciones por x, y, z en la del cono.

[matemáticas] (x_0 + como + bt) ^ 2 + (y_0 + cs + dt) ^ 2 = k ^ 2 (z_0 + es + ft) ^ 2 [/ matemáticas]

Expandir es bastante obvio que obtienes un cuadrático en [matemáticas] s [/ matemáticas] y [matemáticas] t [/ matemáticas]. (Hay algunas condiciones para asegurarse de que los términos cuadráticos no desaparezcan).

Un problema un poco más difícil es hacer lo contrario. Dada una cuadrática general, ¿debe ser una sección cónica?

Podemos escribir una cuadrática en x e y.

[matemáticas] A x + B y + ax ^ 2 + 2 bxy + cy ^ 2 = d [/ matemáticas]

Los términos lineales se pueden eliminar mediante el cambio de la variable [matemáticas] x = u + g, y = v + h [/ matemáticas]

[matemáticas] A (u + g) + B (v + h) + a (u + g) ^ 2 + 2 b (u + g) (v + h) + c (v + h) ^ 2 = d [ /matemáticas]

[matemáticas] (A + 2 ag + 2 bh) u + (B + 2 bg + 2 ch) v + au ^ 2 + 2 buv + cv ^ 2 = C [/ matemáticas]

para alguna constante C. Podemos elegir gyh para eliminar los dos términos lineales. Esto nos deja con una cuadrática en u y v. Cambiar de nuevo a x, y como variables y renombrar las constantes que ahora tenemos

[matemáticas] A x ^ 2 + 2 B xy + C y ^ 2 = D [/ matemáticas]

El término xy puede eliminarse por rotación. [math] x = cos (\ theta) u – sin (\ theta) v, y = sin (\ theta) u + cos (\ theta) v. [/ math] Sustituyendo

[matemáticas] A (cos (\ theta) u – sin (\ theta) v) ^ 2 + 2 B (cos (\ theta) u – sin (\ theta) v) (sin (\ theta) u + cos (\ theta) v) + C (sin (\ theta) u + cos (\ theta) v) ^ 2 = [/ math] D

[matemáticas] (A \ cos ^ 2 (\ theta) + 2 B \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) + \ sin ^ 2 (\ theta)) u ^ 2 + (-2 A cos (\ theta ) sin (\ theta) + 2B cos ^ 2 (\ theta) – 2 B sin ^ 2 (\ theta)) uv + (\ ldots) v ^ 2 = D [/ math]

Podemos establecer el término uv en cero: [matemática] – A sin (2 \ theta) + 2 B cos (2 \ theta) = 0 [/ matemática] o [matemática] \ tan (2 \ theta) = – \ frac {A} {2B} [/ matemáticas].

Esto ahora reduce nuestra cuadrática a

[matemáticas] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} \ pm \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

Dando una elipse o hipérbola. (El caso parabólico surgirá si el cuádrico original se degenera de alguna manera).

Creo que debería ser posible ir desde esta cuadrática reducida para encontrar el plano y el cono correspondientes.

Answer 2

Consideremos el siguiente cono que descansa en el plano [matemático] XY [/ matemático] y cuyo eje coincide con el eje [matemático] Z [/ matemático].

Deje que [math] r [/ math] sea el radio de la base y [math] h [/ math] sea su altura.

Sin pérdida de generalidad, consideramos solo los planos que son perpendiculares al plano [matemático] YZ [/ matemático]. Son posibles dos casos:

Caso 1: el plano no es paralelo al eje [matemático] Z [/ matemático] .

Es decir, la ecuación del plano es:

[matemáticas] z = my + c [/ matemáticas]

El punto [matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas] se encuentra en el cono si (usando reglas de similitud de triángulos):

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {(h – z) ^ 2} {h ^ 2} = \ frac {x ^ 2 + y ^ 2} {r ^ 2} [/ matemáticas]

Si también se encuentra en el avión, entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {(h – my + c) ^ 2} {h ^ 2} = \ frac {x ^ 2 + y ^ 2} {r ^ 2} [/ math]

Claramente, la expresión que relaciona la [matemática] x [/ matemática] y la [matemática] y [/ matemática] es cuadrática.

Algunas deducciones rápidas:

• Si [math] \ displaystyle m = \ pm \ frac {h} {r} [/ math], es decir, el plano es paralelo a la inclinación del cono, se reduce a [math] y – \ beta = p (x – \ alpha) ^ 2 [/ math] forma, que sabemos es una parábola.
• Si [math] m = 0 [/ math], entonces se reduce a una forma [math] x ^ 2 + y ^ 2 = \ rho ^ 2 [/ math].

Caso 2: El plano es paralelo al eje [matemático] Z [/ matemático] :

La ecuación del plano es

[matemáticas] y = c [/ matemáticas]

Entonces, los puntos en la intersección de los lados del cono y el plano son:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {(h – z) ^ 2} {h ^ 2} = \ frac {x ^ 2 + c ^ 2} {r ^ 2} [/ matemáticas]

Al reorganizar esto, obtenemos el formulario:

[matemáticas] \ alpha (z – h) ^ 2 – \ beta x ^ 2 = \ rho ^ 2 [/ matemáticas]

que es la ecuación de una hipérbola.

Answer 3

Hola.

Cualquier ecuación cuadriática proporciona un gráfico en forma de impresión cóncava o convexa (una caída o aumento). Además, mediante ecuaciones generales de una parábola, una hipérbola, una elipsis y un círculo, se puede decir que son ecuaciones cuadriáticas (la potencia más alta es dos). Entonces, cuando ejecuta un plano (sección) a través de un cono y mira la parte izquierda del cono, puede ver la curva (gráfico) de una ecuación cuadriática. Este concepto también es válido para la afirmación de que un círculo se obtiene al pasar un plano (sección) en cualquier ángulo a través de una esfera. La siguiente imagen debería darle una representación visual de lo que dije. Espero que esto responda tu pregunta.

Answer 4

Una introducción de la escuela hgh a las secciones cónicas el primer contacto con la geometría 3D, por lo que puede comenzar con un modelo físico de un cono.

una hoja grande de papel tapiz blanco liso (papel de revestimiento), corte un medio disco con algunos arcos semicirculares. enrollar y pegar en un cono y atar con cinta adhesiva.

Pase algún tiempo explicando que los arcos, que ahora son círculos a diferentes alturas en el cono. explica tu sistema de coordenadas.

Comience con algo simple, una parábola, que ocurre cuando el plano de sección es paralelo al lado de los conos.

usa la ecuación del cono.

z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2

y plano de sección z = h + x por lo tanto 2hx + h ^ 2 = y ^ 2

como h es una constante, el LHS es solo una transformación cercana de x

así que toma h = 2 y dibuja este gráfico como un ejercicio, prepara tu respuesta y recórtala, muestra que tu parábola cortada se ajusta al cono en la línea de sección.

entonces ahora tenemos X = y ^ 2

Ejercicio

(kz) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2

¿Cuál es la ecuación del plano de sección paralelo al lado de este cono?

ahora prueba diferentes planos de sección

z = c, círculo

x = c hipérbola

etc.

Answer 5

Un cono está dado por una ecuación cuadrática en [matemática] x, y, [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática]. Un plano está dado por una ecuación lineal en [matemática] x, y, [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática]. Por medio de una isometría (una transformación rígida de 3 espacios) puedes mover ese plano para que sea el plano xy . El cono también será movido por la isometría, pero aún será dado por una ecuación cuadrática. La intersección del cono y el plano xy será una curva dada por una ecuación cuadrática (o posiblemente un grado más bajo en casos especiales).

Más generalmente, cualquier superficie dada por una ecuación cuadrática, llamada superficie cuadrática (esfera, esferoide, elipsoide, cono, varios cilindros, varios paraboloides, varios hiperboloides) cuando se intersecta con un plano produce una curva dada por una ecuación cuadrática.