¿Hay alguna ecuación que pueda representar la gráfica de un polígono?

Answer 1

Cualquier polígono (regular o no) puede describirse mediante una ecuación que involucra solo valores absolutos y polinomios. Aquí hay una pequeña explicación de cómo hacer eso.
Digamos que una curva C viene dada por la ecuación [matemáticas] f = 0 [/ matemáticas] si tenemos [matemáticas] C = \ {(x, y) \ en R ^ 2, \, f (x, y) = 0 \} [/ matemáticas].

• Si [matemática] C_1 [/ matemática] y [matemática] C_2 [/ matemática] están dados por [matemática] f_1 = 0 [/ matemática] y [matemática] f_2 = 0 [/ matemática] respectivamente, entonces [matemática] C_1 \ la copa C_2 [/ matemática] viene dada por [matemática] f_1 f_2 = 0 [/ matemática] y [matemática] C_1 \ cap C_2 [/ matemática] está dada por [matemática] f_1 ^ 2 + f_2 ^ 2 = 0 [/ matemática ] (o [matemáticas] | f1 | + | f2 | [/ matemáticas]). Entonces, si [matemática] C_1 [/ matemática] y [matemática] C_2 [/ matemática] pueden describirse mediante una ecuación que involucra valores absolutos y polinomios, entonces también [matemática] C_1 \ copa C_2 [/ matemática] y [matemática] C_1 \ cap C_2 [/ matemáticas].
• Si [matemática] C = \ {(x, y) \ en R ^ 2, \, f (x, y) ≥0 \} [/ matemática], entonces [matemática] C [/ matemática] viene dada por la ecuación [matemáticas] | f | −f [/ matemáticas].

Ahora, cualquier segmento [matemático] S [/ matemático] puede describirse como [matemático] S = \ {(x, y) \ en R ^ 2, \, ax + by = c, x_0 \ le x \ le x_1, \, y_0 \ le y \ le y_1 \} [/ math], que viene dado por una sola ecuación por los principios anteriores. Y dado que la unión de segmentos también viene dada por una ecuación, obtienes el resultado.
EDITAR: Para el caso específico del octágono de radio r, si denotas [math] s = sin (\ pi / 8), c = cos (\ pi / 8) [/ math], entonces un segmento viene dado por [ matemática] | y | ≤rs [/ matemática] y [matemática] x = rc [/ matemática], para lo cual una ecuación es
[matemáticas] f (x, y) = || rs− | y || – (rs− | y |) | + | x − rc | = 0 [/ matemáticas]

Entonces creo que el octágono viene dado por
[matemáticas] f (| x |, | y |) f (| y |, | x |) f (| x | + | y ​​| 2√, | x | – | y | 2√) = 0 [/ matemáticas ]

Para obtener una fórmula general para un polígono regular de radio [math] r [/ math] con [math] n [/ math] lados, denote [math] c_n = cos (\ pi / n), \, s_n = sin ( \ pi / n) [/ math] y
[matemáticas] f_n (x + iy) = || r s_n− | y || – (rs_n− | y |) | + | x − r c_n | [/ matemáticas]

entonces su polígono viene dado por
[matemáticas] \ prod_ {k = 0} ^ {n − 1} f_n (e ^ {- 2ikπ / n} (x + iy)) = 0 [/ matemáticas]

Dependiendo de [math] n [/ math], puede usar simetrías para bajar un poco el grado (como se hizo con [math] n = 8 [/ math])

Answer 2

Kanak Dhotre ha mencionado una respuesta explícita. Si el requisito de que no es un polígono exacto, puede usar ideas como Squircle, que está a medio camino entre un cuadrado y un círculo. Un círculo tiene la ecuación [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemática] si aumenta la potencia, aumenta las esquinas más estrechas

rojo: [matemática] x ^ 4 + y ^ 4 = 1 [/ matemática], verde: [matemática] x ^ 6 + y ^ 6 = 1 [/ matemática], negra [matemática] x ^ {10} + y ^ {10} = 1 [/ matemáticas]. El límite dará un cuadrado. Debería ser posible derivar ecuaciones similares para otros polígonos.

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El problema se vuelve mucho más fácil si permite ecuaciones paramétricas. Con x, y dado como funciones de t y t que van de 0 a 360º. Puede usar las ecuaciones para un segmento de línea recta [matemáticas] x = x_0 + t (x_1 – x_0), y = y_0 + t (y_1 – y_0) [/ matemáticas] y usar una declaración de tipo de caso

[matemáticas] (x, y) = \ begin {cases} (x_0 + t (x_1 – x_0), y_0 + t (y_1 – y_0)) & 0 \ le t \ le 1 \\ (x_1 + (t-1 ) (x_2 – x_1), y_1 + (t-1) (y_2 – y_1)) & 1 \ le t \ le 2 \\ (x_2 + (t-2) (x_0 – x_2), y_2 + (t-2 ) (y_0 – y_2)) & 2 \ le t \ le 3 \\\ end {cases} [/ math]

Si desea ser estricto al respecto, puede utilizar la función de valor absoluto para simular los casos.