Si alfa y beta son raíces de la ecuación cuadrática ax ^ 2 + bx + c = 0, ¿se forma una ecuación cuyas raíces son alfa + 1 / beta, beta + 1 / alfa?

Answer 1

[matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática] con raíces [matemática] \ alpha [/ matemática] y [matemática] \ beta [/ matemática]

Entonces, [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = a (x- \ alpha) (x- \ beta) [/ matemáticas]

la ecuación requerida tiene raíces [matemáticas] \ alpha + 1 / \ beta [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta + 1 / \ alfa [/ matemáticas]

la ecuación se puede escribir como

[matemáticas] K (x- \ alpha – 1 / \ beta) (x- \ beta – 1 / \ alpha) [/ matemáticas]

[matemáticas] = K ((x- \ alpha) (x- \ beta – 1 / \ alpha) – (x- \ beta – 1 / \ alpha) / \ beta) [/ matemáticas]

[matemáticas] = ((x- \ alpha) (x- \ beta) – (x- \ alpha) / \ alpha – (x- \ beta – 1 / \ alpha) / \ beta) [/ math]

[matemáticas] = K * ((ax ^ 2 + bx + c) / a- ((x \ beta- \ alpha \ beta + x \ alpha- \ alpha \ beta-1) / (\ alpha \ beta))) [/matemáticas]

[matemáticas] = K * ((ax ^ 2 + bx + c) / a- (x (\ alpha + \ beta) -2 \ alpha \ beta-1) / (\ alpha \ beta)) [/ math]

[matemáticas] = K * ((ax ^ 2 + bx + c) / a- (x (-b / a) -2c / a-1) / (c / a)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = K * ((ax ^ 2 + bx + c) / a – (- bx-2c-a) / c) [/ matemáticas]

[matemáticas] = K * ((acx ^ 2 + bcx + c ^ 2) + (abx + 2ac + a ^ 2)) / ac [/ matemáticas]

[matemáticas] = K * (acx ^ 2 + b (a + c) x + (a + c) ^ 2) / ac [/ matemáticas]

Seleccionar K = ac

La ecuación requerida se convierte en

[matemáticas] acx ^ 2 + b (a + c) + (a + c) ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ alpha + \ beta = \ frac {-b} {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ alpha * \ beta = \ frac {c} {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ alpha + \ frac {1} {\ beta} = \ frac {\ alpha * \ beta + 1} {\ beta} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ beta + \ frac {1} {\ alpha} = \ frac {\ alpha * \ beta + 1} {\ alpha} [/ matemáticas]

Suma de raíces [matemáticas]: [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ alpha \ beta + 1} {\ beta} + \ frac {\ alpha \ beta + 1} {\ alpha} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ beta [\ alpha \ beta + 1] + \ alpha [\ alpha \ beta + 1]} {\ alpha \ beta} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {(\ alpha + \ beta) (\ alpha \ beta +1)} {\ alpha \ beta} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {-b / a (c / a + 1)} {c / a} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {-bc-ab / a ^ 2)} {c / a} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {-bc-ab} {ac} [/ matemáticas]

Producto de Raíces [matemática]: [/ matemática]

[matemáticas] \ frac {\ alpha \ beta + 1} {\ beta} * \ frac {\ alpha \ beta + 1} {\ alpha} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {{\ alpha \ beta + 1} ^ 2} {\ alpha \ beta} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {{c / a + 1} ^ 2} {\ alpha \ beta} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {[c + a] ^ 2 / a ^ 2} {\ alpha \ beta} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {[c ^ 2 + b ^ 2 + 2ca] / a ^ 2} {c / a} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {[a ^ 2 + c ^ 2 + 2ac] / a} {c} [/ matemáticas]

[matemática] p (x) = x ^ 2 – ([/ matemática] suma de raíces [matemática]) x + [/ matemática] producto de raíces

[matemáticas] = x ^ 2 + \ frac {[bc + ab] x} {ac} + \ frac {[a ^ 2 + c ^ 2 + 2ac]} {ac} [/ matemáticas]

[matemáticas] = acx ^ 2 + [bc + ab] x + [a ^ 2 + c ^ 2 + 2ca] [/ matemáticas]

Answer 3

Sabemos que [math] \ alpha + \ beta = – \ dfrac {b} {a} [/ math] y [math] \ alpha \ beta = \ dfrac {c} {a} [/ math].

La suma de las nuevas raíces es [matemáticas] \ alpha + \ dfrac {1} {\ beta} + \ beta + \ dfrac {1} {\ alpha} = – \ dfrac {b} {a} + \ dfrac {{ \ alpha + \ beta}} {{\ alpha \ beta}} = – \ dfrac {b} {a} + \ dfrac {{- \ dfrac {b} {a}}} {{\ dfrac {c} {a }}} = – \ dfrac {b} {a} – \ dfrac {b} {c} = – \ dfrac {{bc + ab}} {{ac}} [/ math]

El producto de las nuevas raíces es [matemáticas] \ left ({\ alpha + \ dfrac {1} {\ beta}} \ right) \ left ({\ beta + \ dfrac {1} {\ alpha}} \ right) = \ alpha \ beta + 2 + \ dfrac {1} {{\ alpha \ beta}} = 2 + \ dfrac {c} {a} + \ dfrac {a} {c} = \ dfrac {{2ac + {a ^ 2} + {c ^ 2}}} {{ac}} = \ dfrac {{{{\ left ({a + c} \ right)} ^ 2}}} {{ac}} [/ math].

La nueva ecuación es [matemáticas] {x ^ 2} + \ dfrac {{bc + ab}} {{ac}} x + \ dfrac {{{{\ left ({a + c} \ right)} ^ 2} }} {{ac}} = 0 \ Rightarrow ac {x ^ 2} + b \ left ({a + c} \ right) x + {\ left ({a + c} \ right) ^ 2} = 0 [ /matemáticas]

Answer 4

Respuesta: [matemáticas] acx ^ 2 \, + \, b (a \, + \, c) x \, + \, (a ^ 2 \, + \, c ^ 2 \, + \, 2ac) \, = \, 0 [/ matemáticas].

Solución:

La ecuación cuadrática dada es [matemática] ax ^ 2 \, + \, bx \, + \, c \, = \, 0 [/ matemática] con raíces [matemática] \ alpha [/ matemática] y [matemática] \ beta [/matemáticas] . Let, suma de raíces = [matemáticas] \ alpha \, + \, \ beta \, = \, p \, = \, – \ dfrac {b} {a} [/ matemáticas] y producto de raíces = [matemáticas] \ alpha \ beta \, = \, r \, = \, \ dfrac {c} {a} [/ math]

Tenemos que encontrar la ecuación cuyas raíces son [math] \ beta \, + \, \ dfrac {1} {\ alpha} [/ math] y [math] \ alpha \, + \, \ dfrac {1} {\ beta}, [/ math]

o, las nuevas raíces deberían ser [math] \ dfrac {\ alpha \ beta \, + \, 1} {\ alpha} [/ math] y [math] \ dfrac {\ alpha \ beta \, + \, 1} {\ beta} [/ math]

o, las nuevas raíces deben ser [math] \ dfrac {r \, + \, 1} {\ alpha} [/ math] y [math] \ dfrac {r \, + \, 1} {\ beta} [/ matemáticas] .

Entonces, básicamente la nueva raíz es [matemáticas] \ dfrac {r \, + \, 1} {x} [/ matemáticas], donde r = producto de raíces = [matemáticas] \ alpha \ beta \, = \, \ dfrac {c} {a} [/ math] yx toma los valores [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math].

Deje que la nueva raíz esté representada por [math] y [/ math], de modo que [math] y \, = \, \ dfrac {r \, + \, 1} {x} \, \, \ mathrm {o } \, \, x \, = \, \ dfrac {r \, + \, 1} {y} [/ math]

Al establecer este valor, [math] x \, = \, \ dfrac {r \, + \, 1} {y} [/ math] en la ecuación [math] ax ^ 2 \, + \, bx \, + \ , c \, = \, 0, [/ math] obtenemos

[matemáticas] a \ left (\ dfrac {r \, + \, 1} {y} \ right) ^ 2 \, + \, b \ left (\ dfrac {r \, + \, 1} {y} \ derecha) \, + \, c \, = \, 0 [/ math]

o, [matemáticas] cy ^ 2 \, + \, b (r \, + \, 1) y \, + \, a (r \, + \, 1) ^ 2 \, = \, 0 [/ matemáticas ]

Al poner [math] r \, = \, \ dfrac {c} {a} [/ math], obtenemos

[matemáticas] cy ^ 2 \, + \, b \ left (\ dfrac {c} {a} \, + \, 1 \ right) y \, + \, a \ left (\ dfrac {c} {a} \, + \, 1 \ right) ^ 2 \, = \, 0, [/ math]

o, [matemáticas] cy ^ 2 \, + \, b \ left (\ dfrac {c \, + \, a} {a} \ right) y \, + \, a \ left (\ dfrac {c \, + \, a} {a} \ right) ^ 2y \, = \, 0 [/ math],

o, [matemáticas] cy ^ 2 \, + \, b \ left (\ dfrac {c \, + \, a} {a} \ right) y \, + \, \ dfrac {(c \, + \, a) ^ 2} {a} \, = \, 0, [/ math]

o, [matemáticas] acy ^ 2 \, + \, b (a \, + \, c) y \, + \, (a ^ 2 \, + \, c ^ 2 \, + \, 2ac) \, = \, 0 [/ matemáticas].

Reemplazando [math] y [/ math] con [math] x [/ math] para escribir la ecuación de manera tradicional, obtenemos la ecuación recién formada como la respuesta:

[matemáticas] acx ^ 2 \, + \, b (a \, + \, c) x \, + \, (a ^ 2 \, + \, c ^ 2 \, + \, 2ac) \, = \ , 0 [/ matemáticas] Resp.