Bien, llamemos al desplazamiento de la superficie en la dirección vertical como y , la ubicación como x y el tiempo como t .
Una ecuación de onda es cualquier ecuación diferencial de segundo orden de la forma:
[matemáticas] \ frac {\ partial ^ {2} y} {\ partial x ^ 2} = \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ {2} y} {\ partial t ^ 2} [/matemáticas]
¿La solución a tal ecuación? (con esto quiero decir la forma de [math] y (x, t) [/ math] =?)
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Bueno, normalmente lo verás citado como:
[matemáticas] y = A sin (kx – \ omega t + \ phi) [/ matemáticas]
… donde podemos ver que la segunda derivada de y con respecto a x es [matemática] -k ^ 2y [/ matemática], mientras que la segunda derivada de y con respecto a t es [matemática] – \ omega ^ 2 y [/ matemática], por lo que podemos relacionar c (que resulta ser la velocidad de la onda) con el número de onda ( k ) y la frecuencia angular [matemática] (\ omega [/ matemática]).
Tenga en cuenta que [math] \ phi [/ math] aquí es una fase constante. Es la razón por la que no tenemos que escribir esta ecuación con un término adicional [matemático] B cos (kx – \ omega t) [/ matemático], que es una solución igualmente válida (piense en esto – cos y pecado son lo mismo función desplazada en una cierta cantidad. Una combinación lineal de los dos solo corresponde a un cambio en algún lugar entre los dos, pero no hay nada especial en las coordenadas que elijas. [math] \ phi [/ math] básicamente te permite decidir en qué hora y lugar donde configura el desplazamiento y en cero)
PERO lo mejor es citarlo como
[matemáticas] y = C exp (ikx – i \ omega t) [/ matemáticas]
… donde hemos sido muy inteligentes y hemos usado algunas propiedades claras de números complejos, a saber, que
[matemáticas] exp (i \ theta) = cos (\ theta) + i sin (\ theta) [/ matemáticas]
y C es un número complejo [matemático] = B – iA [/ matemático] de modo que la parte real de y (el bit que nos interesa) es [matemático] Asin () + Bcos () [/ matemático] como antes. ¡Todas estas cosas son equivalentes! Entonces, ¿por qué hemos hecho esto? Bueno, quería abordar la pregunta que hizo sobre una ecuación diferencial de primer orden como expresión de la onda.
Di que tenemos
[matemáticas] \ frac {\ partial y} {\ partial x} = \ frac {1} {c} \ frac {\ partial y} {\ partial t} [/ matemática]
(que supongo que es lo que querías decir) … bueno, ahora tenemos una solución completamente diferente para [math] y (x, t) [/ math]. Esa solución es
[matemáticas] y = A exp (kx – \ omega t) [/ matemáticas]
(donde ahora las constantes significan algo diferente, pero quería preservar la analogía en la medida de lo posible). Parece similar, pero sin el factor de i dentro de la función exponencial, ya no es una onda oscilatoria sino una función exponencial estándar de pantano. Dependiendo de si las constantes k y [math] \ omega [/ math] son positivas o negativas, crece o se reduce con el tiempo y la distancia.