¿Cómo resolverás una ecuación de Diofantina x ^ 4 + 6x ^ 3 + 11x ^ 2 + 3x + 31 = y ^ 2 (x e y son enteros)?

Answer 1

Encuentre números enteros [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] tal que [matemática] x ^ 4 + 6x ^ 3 + 11x ^ 2 + 3x + 31 = y ^ 2 [/ matemática]

Hice una búsqueda rápida en la computadora que apareció con [math] x = 10, y = \ pm 131 [/ math]. Jonathan Ng en un comentario hizo lo que creo que es el paso crucial. El nota:

[matemáticas] (x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 = x ^ 4 + 6 x ^ 3 + 11 x ^ 2 + 6 x + 1 [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] x ^ 4 + 6x ^ 3 + 11x ^ 2 + 3x + 31 = (x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 – 3x + 30 = y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 -y ^ 2 = 3x – 30 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 3x + 1 + y) (x ^ 2 + 3x + 1 – y) = 3 (x-10) [/ matemáticas]

Cuando [math] x = 10 [/ math] el lado derecho es cero, entonces cualquiera de los factores del lado izquierdo es cero. Como [matemáticas] x ^ 2 + 3x + 1 = 131 [/ matemáticas] en este caso, [matemáticas] y = \ pm 131 [/ matemáticas], el método de Jonathan obtiene la solución particular que encontré.

¿Qué pasa si [matemática] x \ ne 10 [/ matemática] por lo que el lado derecho no es cero?

Aquí tenemos el producto de dos enteros iguales a 3 veces un entero. Podemos decir que y no puede ser un múltiplo de 3. Esto se debe a que (mod 3) [matemática] x ^ 2 + 1 [/ matemática] es congruente [matemática] 0 ^ 2 + 1 [/ matemática] o [matemática] (\ pm 1) ^ 2 + 1 [/ math], entonces [math] x ^ 2 + 1 [/ math] no puede ser un múltiplo de 3, y si [math] y [/ math] es un múltiplo de 3, [matemáticas] x ^ 2 + 1 + 3x \ pm y [/ matemáticas] no puede ser múltiplo de 3. Si ninguno de los factores es múltiplo de 3, tampoco lo es el producto; por lo tanto, [math] y [/ math] no puede ser múltiplo de 3.

Por cada [matemática] y [/ matemática], habrá [matemática] -y [/ matemática] que también funciona, y si ninguno es un múltiplo de 3, uno de ellos tiene la forma [matemática] 3k + 1 [ /matemáticas]. Entonces, sin pérdida de generalidad, dejemos que [math] y = 3k + 1 [/ math].

[matemáticas] (x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 -y ^ 2 = 3x – 30 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 – (3k + 1) ^ 2 = 3 (x – 10) [/ matemáticas]

Estoy atrapado aquí, así que después de dejarlo como borrador por un día, presiono Enviar.

Answer 2

Las únicas soluciones son [matemáticas] (x, y) = (10, 131) [/ matemáticas] y [matemáticas] (10, -131) [/ matemáticas].

Primero, como Jonathan Ng señaló en un comentario a la respuesta de John Falvey a continuación, podemos completar el cuadrado de la izquierda y reescribir la ecuación como [matemáticas] (x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 – 3x + 30 = y ^ 2 [/ matemáticas]. Luego, movemos ambos cuadrados al mismo lado y factorizamos más como [matemáticas] (x ^ 2 + 3x + 1 + y) (x ^ 2 + 3x + 1 – y) = 3 (x – 10) [/ matemáticas] .

Si cualquiera de los factores en el LHS es [matemática] 0 [/ matemática], entonces el RHS también es [matemática] 0 [/ matemática], lo que implica que [matemática] x = 10 [/ matemática], lo que implica que [matemática ] y = \ pm 131 [/ matemáticas].

El otro caso es donde ambos factores en el LHS no son iguales a [matemática] 0 [/ matemática]. Además se divide en dos sub-casos, el primero donde [matemática] x [/ matemática] no está en el rango [matemática] -9 [/ matemática] a [matemática] 3 [/ matemática] inclusive, y donde [matemática] ] x [/ math] está en ese rango.

Si x no está en el rango [matemática] [- 9,3] [/ matemática], tenemos [matemática] x ^ 2 + 3x + 1> | 3x-30 | [/ matemática] porque [matemática] x ^ 2 + 31> 0 [/ matemática] y [matemática] x ^ 2 + 6x – 29 = x ^ 2 + 6x + 9 – 38 = (x + 3) ^ 2 – 38> 0 [/ matemática]. Entonces uno de los factores [matemática] (x ^ 2 + 3x + 1 + y) [/ matemática] o [matemática] (x ^ 2 + 3x + 1 – y) [/ matemática] también es [matemática]> | 3x – 30 | [/ matemáticas]. El otro factor es entonces [math] \ ge 1 [/ math] en valor absoluto (porque es un entero, y no cero por suposición), por lo que [math] | LHS | > | RHS | [/ math] y no hay solución en este caso.

Finalmente, examinamos el caso donde [math] x [/ math] está en el rango [math] [- 9,3] [/ math] caso por caso. Solo tenemos que verificar si [math] (x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 – 3x + 30 [/ math] es un cuadrado perfecto. El cheque es bastante tedioso pero no demasiado largo a mano (aunque usé una computadora). No hay solución para ninguno de esos valores de [math] x [/ math].

Se deduce que la única solución es [matemática] (x, y) = (10, \ pm 131) [/ matemática].

Sería bueno encontrar una forma más elegante de tratar el caso [math] x \ en [-9, 3] [/ math].

Answer 3

Primero, suponga que hay una solución donde [math] x> 10 [/ math]. Entonces, tenemos [matemática] (x ^ 2 + 3x) ^ 2

Del mismo modo, suponga que hay una solución tal que [math] x <-6 [/ math]. Entonces, tenemos [matemáticas] (x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2

Por lo tanto, solo necesitamos verificar los valores [matemática] x \ en [-6, 10] [/ matemática]. Una búsqueda de fuerza bruta arroja que [matemática] x = 10 [/ matemática] es el único valor de [matemática] x [/ matemática] que funciona, por lo que las soluciones son [matemática] x = 10 [/ matemática] y [matemática ] y = \ pm 131 [/ matemáticas].