La ecuación x ^ 11-x ^ 10 + x ^ 8-x ^ 7 + x ^ 5-x ^ 4 + x ^ 2-x = 20, tiene una raíz ‘y’, entonces el valor de y ^ 12 es? Opciones: A.> 61. B. <61 C. = 61

Answer 1

Se da una ecuación polinómica con coeficientes reales y de grado impar (11), por lo que debe haber al menos una raíz real.

Ahora, deje que [matemáticas] f (x) = [/ matemáticas] [matemáticas] x ^ {11} – x ^ {10} + x ^ 8 – x ^ 7 + x ^ 5 – x ^ 4 + x ^ 2 – x -20, [/ math] f (x) se puede reorganizar de la siguiente manera:

[matemáticas] x ^ {10} (x-1) + x ^ 7 (x-1) + x ^ 4 (x-1) + x (x-1) – 20 [/ matemáticas] o

[matemáticas] (x-1) [x ^ {10} + x ^ 7 + x ^ 4 + x] -20 [/ matemáticas] ——— (1)

Cuando [matemáticas] x = 0, f (x) = – 20; x = 1, f (x) = – 20; x = -1, f (x) = – 20; x = 2, f (x)> 0. [/ matemática]

Claramente, hay una raíz para f (x) entre [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas].

De (1), usando la suma de GP obtenemos

[matemáticas] (x-1) [\ frac {x (x ^ {12} – 1} {x ^ 3 – 1}] = 20 [/ matemáticas] o

[matemáticas] x (x ^ {12} – 1) = 20 (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas] y así obtenemos

[matemáticas] x ^ {12} = 21 + 20 (x + \ frac {1} {x}) [/ matemáticas]

Como ya hemos demostrado que hay una raíz entre 1 y 2, [matemáticas] x + \ frac {1} {x}> 2. [/ Matemáticas]

Entonces, si y es una raíz de f (x), entonces [math] y ^ {12}> 61. [/ Math]

Espero que esto haya ayudado.

Answer 2

La ecuación dada es
P (x) = x ^ 11-x ^ 10 + x ^ 8-x ^ 7 + x ^ 5-x ^ 4 + x ^ 2-x-20 = 0
=> x ^ 10 (x-1) + x ^ 7 (x-1) + x ^ 4 (x-1) + x (x-1) = 20
=> x (x-1) (x ^ 9 + x ^ 6 + x ^ 3 + 1) = 20
=> x (x-1) (x ^ 12-1) / (x ^ 3-1) = 20
=> x ^ 12 = 20 (x ^ 3-1) / (x ^ 2-x) +1
= 20 ((x ^ 2 + x + 1) / x) +1
= 20 (x + 1 + 1 / x) +1
≥20 * 3 (x * 1 * 1 / x) ^ (1/3) +1
≥60 + 1
≥61
Nota: Aplicar AM≥GM
(x + 1 + 1 / x) / 3≥ (x * 1 * 1 / x) ^ 1/3
(x + 1 + 1 / x) ≥3
Notarás que P (1) <0 y P (2)> 0. Por lo tanto, 1 61.
Espero que te ayude a entender …