¿Por qué nos importa la geometría de las soluciones de ecuaciones polinómicas en un campo finito?

Answer 1

Bueno, vi esta pregunta sin intentar responder, porque no soy un experto en esta área, excepto algunos conocimientos al respecto durante mi investigación en áreas relacionadas. Sin embargo, déjame tratar de decir algo sobre la posible razón detrás.

Yo diría que el problema general es la “integridad” en matemáticas. Es muy común que si no podemos resolver algunos problemas en cierto sistema numérico, consideremos el problema en otro entorno para comprenderlo mejor o desde un ángulo diferente.

Por ejemplo, [math] i [/ math] se agrega al sistema de números reales para la resolución de [math] x ^ 2 +1 = 0 [/ math]. Puedes sentir la necesidad cuando usas el complejo sistema de números para resolver muchos problemas en matemáticas. Del mismo modo, para estudiar la capacidad de solución de una ecuación polinómica, no solo debemos considerarla en el sistema de números racionales, sino también en el anillo de residuos del módulo de cada número primo.

Más allá de lo anterior, permítanme mencionar algunas referencias para que puedan ver la imagen. Otra gran razón es que tiene enormes aplicaciones modernas en factorización (esta es el área en la que me encontré con este tipo de material la primera vez) y la criptología.

1. Curvas algebraicas en campos finitos:

http://www.diva-portal.org/smash…

2. El teorema de Riemann Roch:

http://www.math.unm.edu/mctp/reu…

3. La hipótesis de p-Riemann, que se resolvió hace bastante tiempo:

http://www.jmilne.org/math/xnote…

4. Puntos racionales en las curvas algebraicas (este tema en realidad está relacionado con el último teorema de Fermat, porque encontrar una solución integral es equivalente a encontrar una solución racional bajo las circunstancias):

http://home.math.au.dk/shave/dvi…

Answer 2

Existe un problema con la búsqueda de soluciones sobre los reales, el teorema de Abel-Ruffini muestra que no existe una solución algebraica general para las ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior con coeficientes arbitrarios. La misma restricción no se aplica a campos finitos, puede obtener soluciones explícitas a estas ecuaciones en campos específicos.

Junto con un colaborador, utilicé lo anterior para ayudar en un programa que he escrito para dibujar superficies algebraicas. Mi colaborador escribió un código usando Singular para encontrar las singularidades de estas superficies haciendo álgebra sobre campos finitos, luego las introduje en mi código para dibujar la superficie, lo que resultó en resultados mucho mejores.