Si [matemáticas] p ^ 2 = a ^ 2 \ cos ^ 2 x + b ^ 2 \ sin ^ 2 x [/ matemáticas], ¿cómo demuestro que [matemáticas] p + \ frac {d ^ 2 p} {dx ^ 2} = \ frac {a ^ 2 b ^ 2} {p ^ 3} [/ math]?

Answer 1

Dado que….

[matemáticas] p ^ 2 = a ^ 2.cos ^ 2 (x) + b ^ 2.sin ^ 2 (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow p ^ 2 = a ^ 2 + (b ^ 2-a ^ 2) sin ^ 2 (x) [/ matemáticas]…. (1)

Ahora, diferenciando ambos lados de (1) wrt x, obtenemos

[matemáticas] 2p \ frac {dp} {dx} = 0 + (b ^ 2-a ^ 2) 2.sin (x) .cos (x) [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow p \ frac {dp} {dx} = (b ^ 2-a ^ 2) sin (x) .cos (x) [/ math]

Nuevamente diferenciando ambos lados wrt x….

[matemáticas] (\ frac {dp} {dx}) ^ 2 + p \ frac {d ^ 2p} {dx ^ 2} = cos (2x) [b ^ 2-a ^ 2] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow p ^ 4 + p ^ 3. \ frac {d ^ 2p} {dx ^ 2} = – p ^ 2 (\ frac {dp} {dx}) ^ 2 + p ^ 2 (b ^ 2 -a ^ 2) cos (2x) + p ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] = – [(b ^ 2-a ^ 2) ^ 2.sin ^ 2 (x) .cos ^ 2 (x)] + [a ^ 2.cos ^ 2 (x) + b ^ 2 (x )] [b ^ 2-a ^ 2] [cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x)] + [a ^ 2.cos ^ 2 (x) + b ^ 2.sin ^ 2 (x)] ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = – [b ^ 4–2a ^ 2.b ^ 2 + a ^ 4] sin ^ 2 (x) .cos ^ 2 (x) + a ^ 2 (b ^ 2-a ^ 2) cos ^ 4 (x) -b ^ 2 (b ^ 2-a ^ 2) sin ^ 4 (x) + [b ^ 2 (b ^ 2-a ^ 2) -a ^ 2 (b ^ 2-a ^ 2) ] sen ^ 2 (x) .cos ^ 2 (x) [/ math]

[matemáticas] = [a ^ 4 + a ^ 2b ^ 2-a ^ 4] cos ^ 4 (x) + (b ^ 4-b ^ 4 + a ^ 2b ^ 2] sin ^ 4 (x) + [2a ^ 2b ^ 2-b ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-a ^ 4-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 4 + b ^ 4-a ^ 2b ^ 2] sin ^ 2 (x) .cos ^ 2 ( x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 2b ^ 2 [cos ^ 4 (x) + 2cos ^ 2 (x) .sin ^ 2 (x) + sin ^ 4 (x)] [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 2b ^ 2 [sen ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x)] ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 2.b ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] p ^ 3 [p + \ frac {d ^ 2p} {dx ^ 2}] = a ^ 2b ^ 2 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow p + \ frac {d ^ 2p} {dx ^ 2} = \ frac {a ^ 2b ^ 2} {p ^ 3} [/ math]

De ahí la prueba.

Answer 2

Tienes que demostrar:

[matemáticas] p ^ 4 + p ^ 3p ^ {\ prime \ prime} = a ^ 2b ^ 2 [/ matemáticas]

Tienes:

[matemáticas] p ^ 3p ^ {\ prime \ prime} [/ matemáticas] + [matemáticas] p ” ^ 2p ^ 2 = [(b ^ 2-a ^ 2) \ cos {2x}] p ^ 2 [/ matemáticas]

,

[matemáticas] (2p ^ {\ prime} p) ^ 2 = (\ sin {2x} (b ^ 2-a ^ 2)) ^ 2 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] p ^ 4 = (a ^ 2 \ cos {x} ^ 2 + b ^ 2 \ sin {x} ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas]

Básicamente, simplemente sustituyendo todas las ecuaciones a continuación en la ecuación PROBAR y tener paciencia para escribir los pasos lo llevará a QED

Answer 3

Comencemos con lo dado:

[matemáticas] p ^ 2 = a ^ 2cos ^ 2 (x) + b ^ 2sin ^ 2 (x) [/ matemáticas]

[[matemáticas] {\ color {rojo} 1} [/ matemáticas]]

Ahora, diferenciando ambos lados de [math] {\ color {red} 1} [/ math] con respecto a [math] x [/ math], obtenemos:

[matemáticas] 2pp ‘= (b ^ 2 – a ^ 2) sin (2x) [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow pp ‘= \ dfrac {b ^ 2 – a ^ 2} {2} sin (2x) [/ math]

[[matemáticas] {\ color {rojo} 2} [/ matemáticas]]

Diferenciando [math] {\ color {red} 2} [/ math] una vez más con respecto a [math] x [/ math] usando la regla del producto, llegamos a:

[matemáticas] (p ‘) ^ 2 + pp’ ‘= (b ^ 2 – a ^ 2) cos (2x) [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow p ^ 2 (p ‘) ^ 2 + p ^ 3p’ ‘= p ^ 2 (b ^ 2 – a ^ 2) cos (2x) [/ math]

[math] \ Big \ {[/ math] multiplicando ambos lados de la ecuación con [math] p ^ 2 \ Big \} [/ math]

[matemática] \ Rightarrow p ^ 4 + p ^ 3p ” = p ^ 2 (b ^ 2 – a ^ 2) cos (2x) – p ^ 2 (p ‘) ^ 2 + p ^ 4 [/ math]

[math] \ Big \ {[/ math] reorganizando los términos y agregando [math] p ^ 4 [/ math] a ambos lados de la ecuación [math] \ Big \} [/ math]

[[matemáticas] {\ color {rojo} 3} [/ matemáticas]]

---

Ahora, lo que queda por hacer es la sustitución de [matemáticas] p ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] p ^ 4 [/ matemáticas] (que es esencialmente [matemáticas] (p ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas] ) de [matemáticas] {\ color {rojo} 1} [/ matemáticas], y [matemáticas] p ^ 2 (p ‘) ^ 2 [/ matemáticas] de [matemáticas] {\ color {rojo} 2} [/ matemáticas ] utilizando el valor de [math] pp ‘[/ math] en el lado izquierdo de [math] {\ color {red} 3} [/ math].

Abrir esos corchetes, reemplazando [math] cos (2x) [/ math] con [math] cos ^ 2 (x) – sin ^ 2 (x) [/ math], [math] sin (2x) [/ math] con [matemáticas] 2sin (x) cos (x) [/ matemáticas] y expandiendo, obtenemos:

[matemáticas] p ^ 4 + p ^ 3p ” = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ big \ {a ^ 2b ^ 2cos ^ 4 (x) + b ^ 4cos ^ 2 (x) sin ^ 2 (x) – a ^ 2b ^ 2sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) – b ^ 4sin ^ 4 (x) – a ^ 4cos ^ 4 (x) – a ^ 2b ^ 2sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) + a ^ 4sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) + a ^ 2b ^ 2sin ^ 4 (x) \ big \} [/ math]

[matemáticas] – \ big \ {b ^ 4sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) + a ^ 4sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) – 2a ^ 2b ^ 2sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) \ big \} [/ math]

[matemáticas] + \ big \ {a ^ 4cos ^ 4 (x) + b ^ 4sin ^ 4 (x) + 2a ^ 2b ^ 2sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) \ big \} [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow p ^ 4 + p ^ 3p ” = a ^ 2b ^ 2cos ^ 4 (x) + a ^ 2b ^ 2sin ^ 4 (x) + 2a ^ 2b ^ 2sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) [/ matemáticas]

[math] \ Big \ {[/ math] cancelando la mayoría de los términos [math] \ Big \} [/ math]

[matemática] \ Rightarrow p ^ 4 + p ^ 3p ” = a ^ 2b ^ 2 ((sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x)) ^ 2) [/ math]

[math] \ Rightarrow p + p ” = \ dfrac {a ^ 2b ^ 2} {p ^ 3} [/ math]

QED

---

Espero que haya ayudado.

Answer 4

Considere los valores de Sin ^ 2 (x), Cos ^ 2 (x) y dp / dx de la ecuación dada.

• p ^ 2 = a ^ 2 (1-Sin ^ 2x) + b ^ 2Sin ^ 2x

》 S en ^ 2x = (p ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2-a ^ 2)

》 P ^ 2 = a ^ 2 Cos ^ 2x + b ^ 2 (1-Cos ^ 2x)

》 Cos ^ 2x = (b ^ 2 -p ^ 2 ) / (b ^ 2-a ^ 2)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

ahora diferenciar la ecuación con respecto a x

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

》 P dp / dx = (b ^ 2-a ^ 2) Sinx. Cosx … ( 1)

》 Dp / dx = [(b ^ 2-a ^ 2) / p] Sinx. Cosx

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

de nuevo diferenciar la ecuación 1 con respecto a x

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

》 Pd ^ 2p / dx ^ 2 + (dp / dx) ^ 2 = (b ^ 2-a ^ 2) Cos ^ 2x-Sin ^ 2x

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

ahora ponga valores de Sin ^ 2x y Cos ^ 2x

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

》 (B ^ 2-a ^ 2) [b ^ 2-p ^ 2-p ^ 2 + a ^ 2] / (b ^ 2-a ^ 2)

》 A ^ 2 + b ^ 2- 2p ^ 2

》 P. (d ^ 2p / dx ^ 2) + (dp / dx) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 -2p ^ 2

》 P. (d ^ 2p / dx ^ 2) = a ^ 2 + b ^ 2- (dp / dx) ^ 2-2p ^ 2

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

poner valor de dp / dx

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

》 Pd ^ 2p / dx ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 – [(b ^ 2-a ^ 2) ^ 2 (Sinx.Cosx) ^ 2] p ^ 2 -2p ^ 2

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

ahora ponga p ^ 2 = a ^ 2Cos ^ 2x + b ^ 2Sin ^ 2x

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

》 Pd ^ 2p / dx ^ 2 = p ^ 2 (a ^ 2 + b ^ 2) – [{b ^ 4 + a ^ 4-2.a ^ 2.b ^ 2} {Sin ^ 2 (x) .Cos ^ 2 (x)}] / p ^ 2 – 2 p ^ 2

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

p ^ 2 = a ^ 2Cos ^ 2x + b ^ 2Sin ^ 2x

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

》 Pd ^ 2p / dx ^ 2 = (a ^ 2Cos ^ 2x + b ^ 2Sin ^ 2x) (a ^ 2 + b ^ 2) -b ^ 4.Sin ^ 2x.Cos ^ 2x – a ^ 4.Sin ^ 2x.Cos ^ 2x + 2a ^ 2.b ^ 2.Sin ^ 2x.Cos ^ 2x / p ^ 2

-2p ^ 2

》 Pd ^ 2p / dx ^ 2 = [a ^ 4.Cos ^ 2x + a ^ 2.b ^ 2.Cos ^ 2x + b ^ 2.a ^ 2Sin ^ 2x + b ^ 4.Sin ^ 2x -a ^ 4.Cos ^ 2x. (1-Sin ^ 2x) -b ^ 4.Sin ^ 2x (1-Sin ^ 2x) + 2a ^ 2.b ^ 2Sin ^ 2x.Cos ^ 2x] p ^ 2 – 2p ^ 2

》 pd ^ 2p / dx ^ 2 = [ a ^ 4.Cos ^ 2x + b ^ 4.Sin ^ 2x + a ^ 2.b ^ 2 (Sin ^ 2x + Cos ^ 2x) – b ^ 4.Sin ^ 2x – a ^ 4.Cos ^ 2x + a ^ 4.Cos ^ 4x + b ^ 4.Sin ^ 4x + 2a ^ 2.b ^ 2.Sin ^ 2x.Cos ^ 2x] p ^ 2 -2p ^ 2

》 Pd ^ 2p / dx ^ 2 = [a ^ 2.b ^ 2 + (b ^ 2.Sin ^ 2x) ^ 2 + (a ^ 2.Cos ^ 2x) ^ 2 + 2a ^ 2.b ^ 2.Sin ^ 2x.Cos ^ 2x] / p ^ 2 – 2p ^ 2

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2 a ^ 2.b ^ 2

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

》 Pd ^ 2p / dx ^ 2 = [a ^ 2.b ^ 2 + (a ^ 2.Cos ^ 2x + b ^ 2.Sin ^ 2x) ^ 2 ] / p ^ 2 – 2p ^ 2

》 Pd ^ 2p / dx ^ 2 = [a ^ 2.b ^ 2 + (p ^ 2) ^ 2] / p ^ 2 – 2p ^ 2

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

separándose en términos

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

》 Pd ^ 2p / dx ^ 2 = a ^ 2.b ^ 2 / p ^ 2 + p ^ 4 / p ^ 2 -2p ^ 2

》 Pd ^ 2p / dx ^ 2 = a ^ 2.b ^ 2 / p ^ 2 – p ^ 2

^ D ^ 2p / dx ^ 2 = a ^ 2.b ^ 2 / pp ^ 2 – p ^ 2 / p

^ D ^ 2p / dx ^ 2 = a ^ 2.b ^ 2 / p ^ 3 – p

---

El | d2p / dx ^ 2 + p = a ^ 2b ^ 2 / p ^ 3 |

Demostrado.