No soy matemático, y el pequeño álgebra abstracta que conozco, lo aprendí dolorosamente por mi cuenta. Entonces tengo una solicitud. ¿Podría algún matemático que lea esta respuesta comentar si estoy fuera de lugar o si tiene sugerencias para mejorar? Prefiero editar o eliminar estas tonterías que desviar a las personas. ¡Gracias!
Para cualquiera que lea, revise los comentarios, donde hay comentarios de matemáticos reales.
Aquí está lo más importante que hizo que el álgebra abstracta fuera difícil de entusiasmarme. No eran realmente pruebas.
En cambio, para mí, el problema de aprender álgebra abstracta resultó ser literalmente la abstracción.
- ¿Son los límites lo único que distingue el álgebra de la escuela secundaria del cálculo?
- Si [matemáticas] p ^ 2 = a ^ 2 \ cos ^ 2 x + b ^ 2 \ sin ^ 2 x [/ matemáticas], ¿cómo demuestro que [matemáticas] p + \ frac {d ^ 2 p} {dx ^ 2} = \ frac {a ^ 2 b ^ 2} {p ^ 3} [/ math]?
- ¿Qué es un polinomio con espigas estrechas para máximos y mínimos?
- Cómo evaluar [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {1- \ cos (1- \ cos x)} {x ^ {4}} [/ math]
- Deje que [math] n [/ math] sea un entero positivo impar y [math] a, b [/ math] sean elementos de [math] \ mathrm {GF} (2 ^ n) [/ math]. ¿Cómo demuestro que [matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 = 0 [/ matemáticas] implica [matemáticas] a = b = 0 [/ matemáticas] (Lo contrario es trivial)?
¿A qué me refiero exactamente con ‘abstracción’?
En las clases de matemáticas anteriores, siempre hablan de una cosa a la vez. Eso significa que siempre es fácil encontrar un ejemplo concreto de lo que están hablando.
Toma matrices. Al principio no es obvio que algunas matrices con entradas reales no tengan inversas. Pero es fácil mostrar un ejemplo concreto de una matriz que no lo hace. También es fácil mostrar una matriz que tiene un inverso. Las preguntas pueden volverse muy difíciles rápidamente, pero siempre hay una fuente lista de ejemplos concretos .
Lo que era aburrido y alienante sobre el álgebra abstracta, para mí, al principio, fue que la fuente de ejemplos concretos parece haberse agotado. Eso parece suceder de inmediato cuando se definen grupos:
‘Cada elemento del grupo tiene un inverso’.
Uh … ok. Cualesquiera que sean [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas], puedo cancelarlas contra [matemáticas] a ^ {- 1} [/ matemáticas] y [matemáticas] b ^ {- 1} [/ matemáticas]. Excelente.
Y luego, si lo desea, puede usar esa declaración, manipular símbolos para probar cosas, sin ningún ejemplo concreto en mente. ¡Lo que parece aún más deprimente (al principio) es que a menudo es la mejor manera de demostrar las cosas! … pero a un precio: solo estás conectando y tragando. Después de eso, aún no sabes exactamente lo que realmente has probado.
Por supuesto, eso parece poco inspirador al principio.
Pero solo parece poco inspirador. Eso es una trampa.
Imagínese de alguna manera resolviendo problemas simultáneamente en geometría plana, teoría de grafos, álgebra lineal y teoría de números … en una manipulación, usando una notación que oculta tantos detalles que todos esos problemas diferentes se ven iguales en su hoja de papel.
Claramente eso sería mágico. Sea lo que sea esto, lo queremos.
Pero mira un poco más profundo que eso. Suponga que nunca antes ha visto ninguno de esos problemas dispares. Solo has hecho la única manipulación, y alguien te dijo, sí, increíble, que ‘resolviste’ todos estos problemas diferentes, la mayoría de ellos en campos que aún no has estudiado.
Debería ser aún más impresionante … pero si no has visto ninguno de esos problemas individuales sin la abstracción, o si has visto algunos de ellos pero no te das cuenta de que deberías estar recordándolos, entonces todo puede caerse plano.
Cuando haces ese tipo de manipulación abstracta sin darte cuenta de cuáles son los problemas subyacentes, ¿qué tienes realmente? ¿Entiendes lo que estás haciendo? ¿Te estás iluminando? ¿Conoces más teoría de grafos que antes? ¿O se siente un poco como un escenario de la “sala china” de la vida real? [Habitación china. *]
Si esa es la trampa en la que te encuentras, puede haber una salida directa:
Una buena cantidad de ejemplos, lo más grande posible, es indispensable para una comprensión profunda de cualquier concepto, y cuando quiero aprender algo nuevo, hago mi primer trabajo construir uno. [Paul Halmos]
Para mí, la salida de la trampa es mantener un zoológico de ejemplos (y contraejemplos, por ejemplo, cosas que son casi grupos, por ejemplo, pero no del todo), y seguir probando cada nuevo teorema en todo el zoológico.
El álgebra abstracta es inspirador, pero primero debes superar esta trampa.
Ver la generalidad realmente patear traseros en una variedad de ejemplos concretos hace toda la diferencia para mí. Es la diferencia entre que te cuenten sobre un truco de magia y realmente ver uno realizado.
* Que yo sepa, la ‘Sala China’ es casi inútil para pensar en su objetivo original, la inteligencia artificial. ¡Pero parece aplicarse aquí!