Cómo calcular [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ left (1- \ frac {1} {\ cosh ^ 299x} \ right) ^ {\ sin65x} [/ math] usando la regla del hospital

Answer 1

El primer paso: ¿Se aplica L’Hopital? (OK, el paso cero: recuerda que L’Hopital no deletreó su nombre con una s).

Para simplificar, definamos [matemáticas] f (x) = (1 – \ frac {1} {\ cosh ^ 2 99x}) ^ {\ sin 65x} [/ matemáticas], por lo que estamos tratando de encontrar [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} f (x) [/ math]

La regla se aplica cuando está tomando una forma indeterminada: [matemática] \ frac {0} {0}, \ frac {\ infty} {\ infty}, 0 ^ \ infty, \ infty ^ 0 [/ math], etc. En este caso, [matemática] \ sen 65x \ a 0, \ cosh ^ 2 99x \ a 1 [/ matemática], entonces tiene la forma [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática], en la que confiaré es suficiente indeterminado.

El segundo paso: simplifica la expresión para que sea más fácil trabajar con ella. Al observar que [math] \ sech x = 1 / \ cosh x [/ math], la expresión se convierte en [math] (1- \ sech ^ 2 99x) ^ {\ sin 65x} [/ math], y también que [ matemáticas] \ tanh ^ 2 x + \ sech ^ 2 x = 1 [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] f (x) = (\ tanh ^ 2 99x) ^ {\ sin 65x} [/ matemáticas], que es comparativamente agradable y simple.

El tercer paso: convertir la expresión a un formulario 0/0. En este caso, podemos comenzar tomando el registro de la expresión. [matemáticas] \ ln f (x) = \ ln (\ tanh ^ 2 99x) ^ {\ sin 65x} = (\ sin65x) \ ln (\ tanh ^ 2 99x) = \ frac {\ sin65x} {\ ln ^ {-1} tanh ^ 2 99x} [/ matemáticas].

Ahora está en forma 0/0: [matemáticas] \ ln (\ lim_ {x \ to 0} f (x)) = \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sin65x} {\ ln ^ {- 1} tanh ^ 2 99x} [/ matemáticas].

Así que ahora puedes aplicar más directamente la Regla de L’Hopital. La derivada del numerador es [math] 65 \ cos 65x [/ math], y la derivada del denominador es … más complicada. Wolfram Alpha dice que es [matemáticas] – \ frac {396 \ csch (198 x)} {\ ln ^ 2 (\ tanh ^ 2 (99x)} [/ matemáticas], que, en 0, tiene la forma \ frac { \ pm \ infty} {- \ infty}. La cosecante hiperbólica es una función extraña que va a [math] \ pm \ infty [/ math] en 0, y el denominador es par y va a [math] – \ infty [ / math] en 0. Entonces, en el mejor de los casos, el denominador también es una forma indeterminada, y tendríamos que aplicar L’Hopital nuevamente.

Excepto que los límites de la izquierda y la derecha serían diferentes por un signo, por lo que a menos que vaya a 0, no hay límite. Si va a 0, entonces desde [math] 65 \ cos 65x = 1 [/ math], el límite original sería diferente a [math] \ infty [/ math]. Si no va a 0, entonces este límite no existe y, por lo tanto, tampoco lo hace el límite original.

¿Va a 0? Veamos uno de los límites unilaterales [matemáticas] \ lim {x \ to0 ^ +} 396 \ frac {- \ csch (2y)} {\ ln ^ 2 (\ tanh ^ 2 y)}, y = 99x [ /matemáticas]. Si no va a 0, entonces hemos terminado. Apliquemos L’Hopital nuevamente, para obtener [matemáticas] 198 \ frac {\ coth 2y \ csch 2y} {\ csch y \ sech y \ ln (\ tanh ^ 2 y)}. Esto se está volviendo desordenado.

¿Cómo podemos simplificar esto? Una cosa a tener en cuenta es que [matemáticas] \ coth 2y \ csch 2y = \ frac {\ cosh 2y} {\ sinh 2y} \ frac {1} {\ sinh2y} = \ frac {\ cosh 2y} {\ sinh ^ 2 2y} = \ frac {1 + 2 \ sinh ^ 2 y} {2 \ sinh x \ cosh x} [/ math], y [math] \ csch y \ sech y = \ frac {1} {\ sinh y} \ frac {1} {\ cosh y} = \ frac {1} {\ sinh y} {\ cosh y} [/ math], lo que ayuda, ya que tanto el numerador como el denominador tienen un [math] \ frac {1 } {\ sinh x \ cosh x} [/ math] valor. Entonces obtenemos [math] 198 \ frac {1 + 2 \ sinh ^ 2 y} {2 \ ln \ tanh ^ 2 y} [/ math]. Aquí tenemos algo, ya que el numerador va a [math] 1 [/ math], y el denominador va a [math] – \ infty [/ math], por lo que el límite diverge al infinito.

Revertir las cosas, significa que [matemáticas] \ lim {x \ to0} 396 \ frac {- \ csch (196x)} {\ ln ^ 2 \ tanh ^ 2 99x} [/ matemáticas] no existe, entonces [matemáticas ] \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sin65x} {\ ln ^ {- 1} \ tanh ^ 2 99x} [/ math] no existe, entonces [math] \ ln \ lim_ {x \ to0} f (x) [/ math] no existe, entonces [/ math] \ lim_ {x \ to0} f (x) [/ math] no existe, que es lo que estábamos tratando de mostrar.

Por supuesto, podría estar equivocado. Recomiendo volver a verificar mi trabajo.

Answer 2

La función cosh (x) se usa con poca frecuencia, ya que de hecho es una notación simplificada como [math] \ cosh (x) = (e ^ x + e ^ {- x}) / 2 [/ math]. Para su problema, debe usar esta definición primero cuando trate con este problema. De hecho, puede simplificar toda la función dentro de los paréntesis y proceder del resultado simplificado.

Este problema no se ve muy a menudo. Pero, después de simplemente la expresión, es posible que necesite usar el logaritmo y luego la regla L’hospital y luego tomar el exponente para finalizar el proceso. Prefiero dejarlo a usted con este esquema general, ya que no es típico y necesita hacer ejercicios más básicos antes de hacer dicho ejercicio.

Hacer un ejercicio no es el propósito en matemáticas, aprender la habilidad es la razón detrás de prepararte para futuros estudios en matemáticas. En este sentido, este problema no es una capacitación básica sino un conocimiento extendido.

Answer 3

Dado que solicita específicamente la regla de l’hospital, esto es lo que vamos a hacer: necesitamos una [matemática] \ displaystyle \ frac {0} {0} o \ displaystyle \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math] formar. Entonces, tomamos el logaritmo primero. Dejar:

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ left (1 – \ frac {1} {\ cosh ^ 2 (99x)} \ right) ^ {\ sin (65x)} [/ math]

Tomando logaritmos en ambos lados, obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ ln {f (x)} = \ sin (65x) \ ln \ left (1 – \ frac {1} {\ cosh ^ 2 (99x)} \ right) [/ math]

Notará que cuando [math] x \ to 0 [/ math], esto se convierte en [math] 0 \ times – \ infty [/ math]. Por lo tanto, lo convertimos a una forma [math] \ displaystyle \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math] de la siguiente manera:

[matemáticas] \ displaystyle \ ln {f (x)} = \ frac {\ ln \ left (1 – \ frac {1} {\ cosh ^ 2 (99x)} \ right)} {1 / \ sin (65x) }[/matemáticas]

Ahora, aplicamos la regla del hospital y diferenciamos el numerador y el denominador de la expresión de la derecha. Obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ ln {f (x)} = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ frac {198 \ sinh (99x)} {\ cosh ^ 2 (99x ) – 1}} {\ frac {65 \ cos (65x)} {\ sin ^ 2 (65x)}} = – \ frac {198 \ sinh (99x) \ sin ^ 2 (65x)} {65 \ cosh ( 99x) (\ cosh (99x) – 1) (\ cosh (99x) + 1) \ cos (65x)} [/ math]

Verá que mientras [math] \ sinh (99x) [/ math] y [math] \ cosh (99x) – 1 [/ math] son ​​infinitesimales del mismo orden, el numerador también contiene otro infinitesimal, a saber, [ matemáticas] \ sin ^ 2 (65x) [/ matemáticas]. Por lo tanto, esperaría que el límite sea [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. Lo que significaría que

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} f (x) = \ mathrm {e} ^ {\ lim_ {x \ to 0} \ ln (f (x))} = 1 [/ math].

Por cierto, los cálculos fueron demasiado complicados y de ninguna manera soy un matemático regular, por lo que es mejor que los revises una vez por errores.