¿Cómo se puede usar el teorema de la bola peluda para probar el teorema fundamental del álgebra?

Answer 1

Soy un poco cauteloso con las preguntas formuladas por cualquier persona que lleve el nombre de matemáticos franceses, especialmente cuando he estado fuera bebiendo, pero siendo británico y algo tonto, intentaré al menos abordar los puntos clave de un operador aparentemente tan fluido.

Mi profesor de francés en la escuela se volvería exasperado por mis intentos de composición. Debo confesar que escribí casi el mismo ensayo cada semana durante 4 años. Lo único en lo que realmente estuvimos de acuerdo fue que el francés era un idioma de precisión, y que cada vez que marcaba mi trabajo, mi puntaje aumentaba y su opinión sobre mí disminuía. Ni siquiera sabía lo que estaba escribiendo para ser honesto. Simplemente perturbaba el texto alrededor de su tinta roja cada semana hasta que desapareció.

Finalmente, el ensayo fue probado y ya no es un ensayo (un “intento”). Puedes imaginar mi deleite cuando admitió a la clase que no solo era un idiota, sino uno completo. Llevé todos sus puntos al límite y encontré (por el principio de su propio argumento) la forma de lograr el puntaje máximo (12 puntos) con el menor esfuerzo (comprensión cero). Siendo británica, le ofrecí un pacto en la victoria, pero siendo francesa, ella me rechazó, renunciando a mí como la raíz de todo mal. Sintiendo algún motivo secreto francés aquí, rechacé tal honor, argumentando que demasiadas raíces del mal serían codiciosas, y el singleton sería bastante adecuado.

Entonces, ¿qué tiene esto que ver con el teorema de Hairy Ball y el teorema fundamental del álgebra?

Bueno, el HBT dice “no puedes cepillarte el pelo” pero el TLC dice “cada ecuación tiene una raíz”

Ahora, estas son declaraciones maravillosamente amplias en inglés, no precisas bourbakianas. Pero nunca puedo recordar a los franceses, así que tengo que conformarme con lo que tengo y empujarlos hacia lo que realmente quiero. ¿Mi acercamiento al francés si quieres?

chacun un hijo gota

(cada uno a su propio trastorno alimentario)

1) No puedes cepillarte el pelo:

2) Si tienes una bola peluda, no puedes cepillarla en todas partes; en algún lugar de la bola, como el ojo de un huracán, será una “espiral”.

3) Un campo vectorial uniforme sobre una esfera es constante

Ahora podríamos ser más precisos aquí, pero a) estoy borracho yb) no necesitamos ni queremos tanta precisión técnica.

Debemos considerar el teorema fundamental del álgebra.

Las matemáticas son como una obra de teatro, el público debe ser atraído, los personajes desarrollados, etc.

Si desea los detalles técnicos sangrientos vaya a MIT o Plymouth. Para eso están.

TLC:

1. Cada ecuación tiene una raíz.
2. Cada polinomio de grado positivo sobre los números complejos tiene una raíz

grado positivo ? demasiado complejo para esta hora de la mañana. Intentemos

Cada polinomio sobre los números complejos tiene una raíz, OR, es constante.

Ahora escriba nuestras dos declaraciones juntas:

a) Un campo vectorial sobre una esfera es constante si es suave

b) Un polinomio sobre los números complejos es constante si no tiene raíz

Ahora, uno podría observar que todo lo que estoy haciendo es justamente con palabras aquí. Tienes toda la razón. Esto es inglés, no francés.

Pero estamos manipulando las ideas aquí, usar el “francés” nos empantanaría en detalles terribles y ocluiría los puntos clave. Entonces podríamos perder nuestro camino.

Estamos lejos de estar completos. Pero podemos ver que las ideas de “constancia” y “suavidad” y “raíz” parecen ser comunes a nuestros dos teoremas aquí. De hecho, estas ideas apuntalan la totalidad de las matemáticas, desde el análisis complejo hasta la teoría de dominios.

Necesito un café.

Answer 2

La continuidad en el infinito es crucial y no se cumple para todos los polinomios, pero sí para los polinomios irreducibles de grado 2 y eso es suficiente.