Sin usar el método gráfico, ¿puedes resolver la ecuación [matemáticas] 2 ^ x = 8x [/ matemáticas]?

Answer 1

Desea encontrar los valores de x de manera que [matemática] 2 ^ x – 8x = 0 [/ matemática].

El método más efectivo para resolver esto numéricamente es a través del método de Newton-Rhapson. Realiza una suposición inicial y luego utiliza el cálculo para refinar sucesivamente su suposición. Solo se necesita una pequeña cantidad de mejoras para obtener una respuesta muy precisa.

Con referencia al diagrama anterior, nuestra suposición más reciente fue [math] x_n [/ math]. El error en esta suposición es [math] f (x_n) [/ math].

De la inspección del diagrama, podemos ver que [math] f ‘(x_n) = \ frac {f (x_n)} {x_n – x_ {n + 1}} [/ math]

Reorganizando esta ecuación, encontramos que nuestra próxima suposición será: [matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ frac {f (x_n)} {f ‘(x_n)} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que la suposición inicial debe estar “razonablemente cerca” de la respuesta correcta; de lo contrario, este método podría no converger en la respuesta correcta. Desafortunadamente, no puedo pensar en ningún otro método que no sea un boceto rápido para obtener mis conjeturas iniciales (0 y 6).

Answer 2

Esta solución, usando Lambert W, es muy similar a la de la función Lambert W.

[matemáticas] {2} ^ {x} = 8x [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = \ frac {8x} {{2} ^ {x}} = 8x {e} ^ {-x \ log {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {8} = x {e} ^ {-x \ log {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {- \ log {2}} {8} = -x \ log {2} {e} ^ {-x \ log {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] W \ left (- \ frac {\ log {2}} {8} \ right) = -x \ log {2} [/ math]

[matemáticas] x = – \ frac {W \ left (- \ frac {\ log {2}} {8} \ right)} {\ log {2}} [/ math]

[matemáticas] x ~ = 0.137499628779701 [/ matemáticas]

W (.) Es el llamado logaritmo del producto.

La vida es mucho más fácil si usa un sistema de álgebra simbólica de computadora, como sympy para el lenguaje Python:

>>> de Sympy Import *

>>> var (‘x’)

X

>>> resolver (2 ** x-8 * x)

[-LambertW (-log (2) / 8) / log (2)]

>>> N (-LambertW (-log (2) / 8) / log (2))

0.137499628779701

EDITAR: He leído la respuesta de Michael Lamar. Debería haber graficado la ecuación (como hago habitualmente), ¡lo que me habría recordado que tiene dos soluciones! La forma de obtener la segunda solución con Sympy que me han dicho es usar,

>>> N (-LambertW (-log (2) / 8, -1) / log (2))

5.44490755461021

El segundo argumento para LambertW especifica la segunda rama.

Answer 3

[matemáticas] 2 ^ x = 8x \ \ implica \ \ frac 18 = x2 ^ {- x} \ \ implica \ \ frac 18 = xe ^ {- x \ ln2} \ \ implica \ \ frac {- \ ln 2} 8 = (- x \ ln 2) e ^ {- x \ ln 2} [/ matemática]

El objetivo de esta manipulación es obtener el lado derecho de la ecuación en la forma de [math] ue ^ u [/ math]. Queremos este formulario porque podemos aplicar la función Lambert W a ambos lados de la ecuación. El Lambert W es el “inverso” de [math] ue ^ u [/ math] (reconociendo que puede tener varios valores).

La aplicación de esta función da:

[matemática] W \ left (\ frac {- \ ln 2} 8 \ right) = -x \ ln 2 [/ math]

Y finalmente:

[matemáticas] x = – \ frac 1 {\ ln 2} \ cdot W \ left (\ frac {- \ ln 2} 8 \ right) [/ math]

Algunos análisis de Lambert W nos dicen que tiene múltiples valores para argumentos en el intervalo [math] (- e ^ {- 1}, 0) [/ math]. Resulta que [math] \ frac {- \ ln 2} 8 \ in (-e ^ {- 1}, 0) [/ math] por lo que hay dos valores de Lambert W para este argumento y estos definen los dos soluciones reales a la ecuación.

Puede usar cualquier cantidad de herramientas de software para dar una aproximación decimal a las funciones de registro natural y Lambert W. Estos conducen a las dos soluciones (aproximadas) para [matemáticas] x [/ matemáticas]:

5.444907554610208

0.137499628779701

Answer 4

https://en.wikipedia.org/wiki/La …