Si [matemática] 2 + i \ sqrt {3} [/ matemática] es una raíz de [matemática] x ^ 2 + Px + Q = 0 [/ matemática] y si [matemática] P [/ matemática] y [matemática] Q [/ math] son ​​reales, ¿qué es [math] P + Q [/ math]?

Answer 1

Seguimientos es mi solución paso a paso. Espero que sea correcto y útil:

Suponiendo que x1 y x2 son raíces de la ecuación anterior, tenemos un conjunto de ecuaciones siguientes:

(1) x1 + x2 = -P / 1 = -P (1 es el coeficiente de x ^ 2)

(2) x1.x2 = Q / 1 = Q (1 es el coeficiente de x ^ 2)

Según el problema anterior, una de las raíces es un número complejo (2 + i * sqrt (3)), luego otra raíz también debe ser un número complejo, llamado (a + i * b).

Dado que P, Q son números reales, desde (1) => la parte imaginaria de x2 debe ser -i * sqrt (3)

=> la parte real de x2 = – P – 2

Expandir (2), obtenemos:

(2 + i * sqrt (3)) * (a – i * sqrt (3)) = Q

2a + 3 + i * (a-2) sqrt (3) = Q

Debido a que Q es real, por lo que la parte imaginaria del LHS debe eliminarse => a = 2

Entonces determinamos que 2 raíces de la ecuación son: x1 = 2 + i * sqrt (3) y x2 = 2 – i * sqrt (3).

Sustituya x1 y x2 en (1) y (2), obtenemos P = -4 y Q = 7

Finalmente, la respuesta para la suma de P + Q = 3!

Answer 2

TEOREMA: si a + bi es una raíz de una función polinómica con coeficientes reales, entonces también lo es a – bi.

Entonces, las raíces de x ^ 2 + Px + Q son 2 + i * sqrt (3) y 2 – i * sqrt (3)

TEOREMA: si x_1 y x_2 ​​son las raíces de x ^ 2 + Px + Q, entonces P = – x_1 – x_2 y Q = x_1 * x_2

Entonces P = – 2 – i * sqrt (3) – 2 + i * sqrt (3) = -4, Q = (2 + i * sqrt (3)) * (2 – i * sqrt (3)) = | 2 + i * sqrt (3) | ^ 2 = 7

Entonces P + Q = 3.

Answer 3

Tenga en cuenta que la suma y el producto de las raíces son reales y, por lo tanto, las raíces deben ser conjugados complejos. En otras palabras, tenemos [matemática] z_1 = 2 + i \ sqrt {3} [/ matemática] y [matemática] z_2 = 2 – i \ sqrt {3} [/ matemática].

Ahora, a partir de las fórmulas de Vieta, tenemos [matemáticas] p = – (z_1 + z_2) = -4 [/ matemáticas] y [matemáticas] q = z_1 z_2 = 4 + 3 = 7 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] p + q = 3 [/ matemáticas].

Answer 4

Se sabe que, [matemáticas] A = 1 [/ matemáticas], el coeficiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, la fórmula cuadrática es, [matemáticas] \ frac {4+ \ sqrt {-12}} {2} [/ matemáticas]

Ahora, [matemáticas] -P = 4, P = -4 [/ matemáticas]

[matemáticas] P ^ 2-4Q = -12 [/ matemáticas]

[matemáticas] 16-4Q = -12 [/ matemáticas]

[matemáticas] -4Q = -28 [/ matemáticas]

[matemáticas] Q = \ frac {28} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] 7 = Q [/ matemáticas]

[matemáticas] P + Q = 7 + (- 4) = 3 [/ matemáticas]

Gracias por el A2A

Answer 5

Lema : Si [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​complejas con [math] a \ neq 0 [/ math] y [math] ab \ in \ mathbb {R} [/ math] , entonces [math] b [/ math] es un múltiplo real de [math] \ overline {a} [/ math].

Prueba : Si [math] ab = c [/ math], donde [math] c \ in \ mathbb {R} [/ math], entonces [math] \ displaystyle b = \ frac {c} {a} [/ math ] Multiplique el numerador y el denominador de la derecha por [matemáticas] \ overline {a} [/ matemáticas] y tendrá [matemáticas] \ displaystyle b = \ overline {a} \ frac {c} {| a | ^ 2} [/ matemáticas]; de donde, [math] b [/ math] es un múltiplo real de [math] \ overline {a} [/ math].

Usando el lema, podemos decir que dado que [math] Q [/ math] es real, la otra raíz tiene la forma [math] 2k – ik \ sqrt {3} [/ math], donde [math] k \ in \ mathbb {R} [/ math]. Como la suma de las raíces también es real, [matemáticas] i \ sqrt {3} – ik \ sqrt {3} = 0 \ implica k = 1 [/ matemáticas].

Answer 6

Aquí hay una manera directa de resolver esto: Digamos que la otra raíz es [matemática] a + bi [/ matemática], donde [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​reales. Entonces [matemáticas] x ^ 2 + Px + Q = (x- (2 + i \ sqrt {3}) (x- (a + ib) [/ matemáticas], lo que implica [matemáticas] P = – (a + 2) -i (\ sqrt {3} + b) [/ math] y [math] Q = (2a-b \ sqrt {3}) + i (a \ sqrt {3} + 2b) [/ math]. las partes imaginarias deben ser cero, tenemos [matemática] b = – \ sqrt {3} [/ matemática] y [matemática] a = 2 [/ matemática]. Así [matemática] P = -4 [/ matemática] y [matemática ] Q = 7 [/ matemáticas].

Actualización: ofrecí lo anterior porque era más directo que las otras respuestas. Sin embargo, me di cuenta de que aún lo hacía más complicado de lo necesario. De la fórmula cuadrática, sabemos que las raíces deben tener la forma [math] a \ pm bi [/ math]. Entonces, solo por inspección, sabemos que la otra raíz es [math] 2-i \ sqrt {3} [/ math]. Ahora los valores de P y Q caen directamente cuando multiplicamos los factores de la cuadrática. También noté que la pregunta pedía [matemáticas] P + Q [/ matemáticas], no [matemáticas] P [/ matemáticas] y [matemáticas] Q [/ matemáticas]. Entonces, 3!