¿Existe alguna fórmula general para encontrar las raíces de una función cúbica (polinominal de tercer grado) como la que existe para las ecuaciones cuadráticas (polinominales de segundo grado)?

Sí hay. Sin embargo, es bastante largo y no es fácil de memorizar, por lo que es menos conocido. También hay una fórmula cuártica, que es aún más larga (no la escribiré aquí). Sin embargo, no existe una fórmula para quintic, hexic, etcétera, que sabemos por el teorema de Abel-Ruffini.

Sin embargo, hay otras formas mucho más fáciles de resolver una ecuación cúbica (además de simplemente usar una computadora). Ver Función cúbica para más información.

La fórmula cúbica:

[matemáticas] x = – \ frac {1} {2} \, {\ left (i \, \ sqrt {3} + 1 \ right)} {\ left (\ frac {\ sqrt {- \ frac {1} {3} \, b ^ {2} c ^ {2} + \ frac {4} {3} \, ac ^ {3} + 9 \, a ^ {2} d ^ {2} + \ frac {2 } {3} \, {\ left (2 \, b ^ {3} – 9 \, abc \ right)} d}} {6 \, a ^ {2}} – \ frac {2 \, b ^ { 3} – 9 \, abc + 27 \, a ^ {2} d} {54 \, a ^ {3}} \ right)} ^ {\ frac {1} {3}} – \ frac {b} { 3 \, a} – \ frac {{\ left (b ^ {2} – 3 \, ac \ right)} {\ left (-i \, \ sqrt {3} + 1 \ right)}} {18 \ , a ^ {2} {\ left (\ frac {\ sqrt {- \ frac {1} {3} \, b ^ {2} c ^ {2} + \ frac {4} {3} \, ac ^ {3} + 9 \, a ^ {2} d ^ {2} + \ frac {2} {3} \, {\ left (2 \, b ^ {3} – 9 \, abc \ right)} d }} {6 \, a ^ {2}} – \ frac {2 \, b ^ {3} – 9 \, abc + 27 \, a ^ {2} d} {54 \, a ^ {3}} \ right)} ^ {\ frac {1} {3}}} [/ math]

o

[matemáticas] x = – \ frac {1} {2} \, {\ left (-i \, \ sqrt {3} + 1 \ right)} {\ left (\ frac {\ sqrt {- \ frac {1 } {3} \, b ^ {2} c ^ {2} + \ frac {4} {3} \, ac ^ {3} + 9 \, a ^ {2} d ^ {2} + \ frac { 2} {3} \, {\ left (2 \, b ^ {3} – 9 \, abc \ right)} d}} {6 \, a ^ {2}} – \ frac {2 \, b ^ {3} – 9 \, abc + 27 \, a ^ {2} d} {54 \, a ^ {3}} \ right)} ^ {\ frac {1} {3}} – \ frac {b} {3 \, a} – \ frac {{\ left (b ^ {2} – 3 \, ac \ right)} {\ left (i \, \ sqrt {3} + 1 \ right)}} {18 \ , a ^ {2} {\ left (\ frac {\ sqrt {- \ frac {1} {3} \, b ^ {2} c ^ {2} + \ frac {4} {3} \, ac ^ {3} + 9 \, a ^ {2} d ^ {2} + \ frac {2} {3} \, {\ left (2 \, b ^ {3} – 9 \, abc \ right)} d }} {6 \, a ^ {2}} – \ frac {2 \, b ^ {3} – 9 \, abc + 27 \, a ^ {2} d} {54 \, a ^ {3}} \ right)} ^ {\ frac {1} {3}}} [/ math]

o

[matemáticas] x = {\ left (\ frac {\ sqrt {- \ frac {1} {3} \, b ^ {2} c ^ {2} + \ frac {4} {3} \, ac ^ { 3} + 9 \, a ^ {2} d ^ {2} + \ frac {2} {3} \, {\ left (2 \, b ^ {3} – 9 \, abc \ right)} d} } {6 \, a ^ {2}} – \ frac {2 \, b ^ {3} – 9 \, abc + 27 \, a ^ {2} d} {54 \, a ^ {3}} \ derecha)} ^ {\ frac {1} {3}} – \ frac {b} {3 \, a} + \ frac {b ^ {2} – 3 \, ac} {9 \, a ^ {2} {\ left (\ frac {\ sqrt {- \ frac {1} {3} \, b ^ {2} c ^ {2} + \ frac {4} {3} \, ac ^ {3} + 9 \ , a ^ {2} d ^ {2} + \ frac {2} {3} \, {\ left (2 \, b ^ {3} – 9 \, abc \ right)} d}} {6 \, a ^ {2}} – \ frac {2 \, b ^ {3} – 9 \, abc + 27 \, a ^ {2} d} {54 \, a ^ {3}} \ right)} {{ \ frac {1} {3}}} [/ matemáticas]

Hay una fórmula que fue encontrada hace unos 100 años por un científico iraní llamado Musa Nasri. La fórmula se puede dar según los seguidores. Voy a obtener de la Biblioteca Nacional de Irán y publicar aquí pronto:

Cualquier función cúbica con 3 raíces de a, b, c se puede escribir como:

(xa) (xb) (xc) = 0

x ^ 3- (a + b + c) x ^ 2 + (ab + bc + ac) x-abc = 0

al considerar los siguientes sustitutos:

3B = – (a + b + c)

3C = ab + bc + ac

D = -abc

se puede expresar como:

x ^ 3 + 3Bx ^ 2 + 3Cx + d = 0

Ahora, mediante esta simplificación, se pueden encontrar muchas ideas para extraer las raíces de la función cúbica. Por cierto, la fórmula no necesita convertirse a una función cuadrática.

Hay varios métodos (completar el cuadrado y la fórmula cuadrática son métodos diferentes), aquí hay uno (del Ferro):

Para el eje cúbico general [matemáticas] ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 [/ matemáticas], primero divida ambos lados entre [matemáticas] a [/ matemáticas], luego sustituya [matemáticas] x = yb / (3a ) [/ math], que producirá un nuevo cúbico en [math] y [/ math] sin un término de segundo grado:

[matemáticas] y ^ 3 + py = q [/ matemáticas]

Deje [math] y = u + v [/ math], entonces

[matemáticas] u ^ 3 + v ^ 3 + (3 uv + p) (u + v) = q [/ matemáticas]

Establezca [math] (3uv + p) [/ math] igual a cero, de modo que [math] q [/ math] sea igual a [math] u ^ 3 + v ^ 3 [/ math]. Resuelve esas dos ecuaciones simultáneamente para [matemáticas] u [/ matemáticas] y [matemáticas] v [/ matemáticas], y tienes una solución para el cúbico.

La hay, pero es horriblemente larga. Incluso hay una fórmula para encontrar las raíces de una función cuártica (polinomio de cuarto grado).

Curiosamente, no existe una fórmula general para encontrar las raíces de un quintic (5º grado) o superior. Para entender por qué tendrás que aprender algo de teoría de Galois.

Sí, y aquí están con un histórico de su descubrimiento: la función cúbica.
La parte de los duelos matemáticos es mi favorita.