Cuando definimos los números naturales usando los axiomas de Peano, también definimos las operaciones básicas de la aritmética.
Los dos objetos fundamentales de los números naturales son el número [matemática] 0 [/ matemática] (o [matemática] 1 [/ matemática], menos comúnmente en estos días), que es el sucesor de ningún otro número, y [matemática] s [/ math], una función que toma un número natural [math] n [/ math] y produce su sucesor [math] s (n) [/ math]. Los axiomas se eligen para que comencemos con [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y aplicando la función sucesora … sucesivamente … generará todos y cada uno de los números naturales.
La adición de números naturales se define de manera tal que si [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] son números naturales, entonces [matemática] m + s (n) = s (m + n) [/ matemática ], y [matemáticas] n + 0 = 0 + n = n [/ matemáticas], para cada número natural [matemáticas] n [/ matemáticas]. Esta es una definición recursiva que nos permite probar que [math] s (n) = n + 1 [/ math]. (Vea si puede encontrar una prueba de esto a partir de la definición en este párrafo).
La multiplicación de números naturales se define de forma recursiva en términos de suma. Tenemos reglas que [matemáticas] 0 \ veces n = n \ veces0 = 0 [/ matemáticas] para cada número natural [matemáticas] n [/ matemáticas], y que [matemáticas] n \ veces S (m) = n + (n \ veces m) [/ math]. Con esto y los axiomas de Peano, podemos demostrar que la multiplicación hace todo lo que esperamos.
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Pero, ¿qué pasa con [matemáticas] -1 \ veces-1 [/ matemáticas]?
Tenemos que introducir enteros. Estos vienen como clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales. Es decir, los pares ordenados [matemática] (a, b) [/ matemática] y [matemática] (c, d) [/ matemática] representan el mismo número entero si [matemática] a + d = c + b [/ matemática] . En términos generales, esto significa que [math] (a, b) \ equiv (c, d) [/ math] son el mismo número entero y podrían escribirse como [math] ab \ equiv cd [/ math] cuando [math] a [/ math], [math] b [/ math], [math] c [/ math] y [math] d [/ math] se tratan como enteros. Si [math] a \ ge b [/ math] (o [math] c \ ge d [/ math]) identificamos ese número entero con el número natural equivalente, y si [math] b <a [/ math] ( o [math] c <d [/ math]), entonces el entero correspondiente es el inverso aditivo del entero [math] (b, a) \ equiv (d, c) [/ math].
La adición se define de manera diferente aquí, pero no de manera muy diferente. En esencia, queremos definirlo en términos de suma en los números naturales, de modo que cuando tengamos números enteros equivalentes a los números naturales todo salga como “debería”. Suponga que [math] (a, b) [/ math] y [math] (c, d) [/ math] son enteros distintos. Entonces [math] (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) [/ math], donde en el LHS el símbolo [math] + [/ math] es “suma entera”, porque está entre enteros, y en el RHS es “suma de números naturales”, porque está entre números naturales (dentro del entero resultante).
Esto nos lleva a la multiplicación. Queremos multiplicar números enteros para que todo funcione de la manera “correcta” cuando multipliquemos números naturales. Esto se hace por
[math] \ displaystyle {\ qquad (a, b) \ times (c, d) = (a \ times c + b \ times d, b \ times c + a \ times d).} [/ math]
Nuevamente, el [math] \ times [/ math] en el LHS es la multiplicación entera, pero el [math] \ times [/ math] que aparece cuatro veces en el RHS es la multiplicación de números naturales. Puede comprobar por sí mismo que para los números naturales [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática], el producto entero [matemática] (n, 0) \ times (m, 0) = (n \ times m, 0) [/ math] como debería.
El número entero [math] -1 [/ math] es la clase de equivalencia de todos los pares ordenados de la forma [math] (n, n + 1) [/ math], para cualquier número natural [math] n [/ math]. Canonicamente, podemos tomar [math] n = 0 [/ math], y simplemente trabajar con el producto [math] (0,1) \ times (0,1) [/ math], que es
[matemáticas] \ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} (0,1) \ times (0,1) & = (0 \ times0 + 1 \ times1,0 \ times1 + 0 \ times1) \\ & = ( 0 + 1,0 + 0) \\ & = (1,0), \ end {align *}} [/ math]
que es equivalente a [matemáticas] 1 [/ matemáticas].
Solo por diversión, veamos ahora el caso donde [math] n [/ math] y [math] m [/ math] son números naturales:
[matemáticas] \ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} (n, n + 1) \ times (m, m + 1) & = (m \ times n + (n + 1) \ times (m + 1), \\ & \ qquad n \ times (m + 1) + (n + 1) \ times m) \\ & = (2 \ times m \ times n + m + n + 1, \\ & \ qquad2 \ times m \ veces n + m + n) \\ & \ equiv (1,0). \ end {align *}} [/ math]
Entonces, ¿ por qué [math] -1 \ times-1 = 1 [/ math]? Debido a que queríamos hacer una regla para multiplicar enteros de tal manera que multiplicar enteros equivalentes a números naturales dados da un número entero que es equivalente al producto de los números naturales dados, y no queríamos tener que escribir reglas adicionales o recuerda excepciones.