Querido Jonathan
Me gustaría modificar la respuesta de Joachim ligeramente, señalando que el grupo [math] Z_ {p ^ 3} [/ math] es otro grupo abeliano de orden p ^ 3. Pero también quiero explicar más un punto que hizo Joachim.
Las ideas clave son las siguientes:
Los grupos de orden p ^ k tienen un centro no trivial. Entonces, podemos escribir su grupo G como una extensión de su centro Z de la siguiente manera:
- X es un número entero positivo. Si (x + 5) es divisible por 6 y el último dígito en x es tres, ¿es x divisible por tres?
- Cómo resolver esta integral definida: [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ a (a ^ 2 + x ^ 2) ^ {5/2} \, dx? [/ Matemáticas]
- ¿Cuántas soluciones tiene x ^ 2 = n?
- Cómo calcular [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ left (1- \ frac {1} {\ cosh ^ 299x} \ right) ^ {\ sin65x} [/ math] usando la regla del hospital
- ¿Por qué es [matemáticas] – 1 \ veces – 1 = 1 [/ matemáticas]?
Z> -> G – >> Q
Donde Q es el cociente de G por el centro. Ahora, una extensión central con un cociente cíclico es abeliano (busque estos términos y aprenda la prueba de esto: es bueno para el alma), por lo tanto, si G no es abeliano, entonces Q debe ser de orden p ^ 2.
Ahora, Q es abeliano (entonces, iso a Z_ {p ^ 2} o Z_p x Z_p), o en sí mismo tiene un centro no trivial (de orden p) y, por lo tanto, tiene una extensión central con cociente cíclico, así que es … Abeliano ¡después de todo!
En cualquier caso, ahora estamos en el marco de la siguiente secuencia exacta corta
Z> -> G – >> Q (*)
donde Q es (Z_p) ^ 2 o Z_ {p ^ 2}, y Z es iso a Z_p.
Tenga en cuenta que el centro de G contiene el subgrupo conmutador de G (ya que el cociente por el centro es en realidad abeliano).
De hecho, se obtiene una estructura de producto semidirecto para G usando la secuencia exacta corta anterior si hay división del mapa q: G – >> Q. Una división es un homomorfismo grupal s: Q> -> G para que para todo x en Q tenemos q (s (x)) = x.
Si no existe tal división, entonces el grupo G ni siquiera es un producto semidirecto (basado en esta breve secuencia exacta), y en particular, no es abeliano. Por ejemplo, no podemos escribir el grupo cuaternión Q_8 como un producto semidirecto, ya que cada subgrupo no trivial contiene el subgrupo {1, -1}, por lo tanto, Q_8 no aparece como el grupo de extensión (el grupo medio, G, en este ejemplo) para CUALQUIER secuencia exacta corta dividida.
Sin embargo, resulta que Q_8 es un caso especial. Para números primos impares y G no abelianos, podemos encontrar una estructura de producto semidirecto (pero no basado en la secuencia exacta corta anterior).
Si podemos escribir G como una extensión dividida de su grupo de cocientes por su subgrupo normal, entonces podemos hacer un producto semi-directo no abeliano si podemos encontrar una ACCIÓN no trivial del grupo de cocientes en el subgrupo normal.
Veamos ahora que no podemos hacer esto usando nuestra breve secuencia exacta (*) anterior.
Pero, esto nos da una idea. ¿Quizás el subgrupo normal es del orden p ^ 2, y el grupo del cociente es del orden p? De hecho, ahora consideraremos escribir G como una extensión como esta:
N> -> G – >> R (**)
Donde N es (Z_p) ^ 2 o Z_ {p ^ 2}, y R es iso a Z_p.
De hecho, en este caso, uno PUEDE encontrar homomorfismos no triviales a los grupos de automorfismos de N (en cualquier caso) de R, por lo que uno PUEDE construir una estructura de producto semidirecto no trivial en G.
Todo esto se hace con mucho detalle en esta tesis, en el primer capítulo.