Cómo resolver esta integral definida: [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ a (a ^ 2 + x ^ 2) ^ {5/2} \, dx? [/ Matemáticas]

Answer 1

[matemáticas] I = \ int (a ^ 2 + x ^ 2) ^ {\ frac {5} {2}} dx [/ matemáticas]

poner [matemáticas] x = a \ sinh t [/ matemáticas]; [matemáticas] dx = a \ cosh t dt; [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ int a ^ 6 \ cosh ^ 6 t dt [/ matemáticas]

Ahora [math] \ cosh t = \ cos it = \ cos y [/ math] (say) donde y = it

[matemáticas] \ cos y = \ frac {e ^ {iy} + e ^ {- iy}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cosh ^ 6t = \ cos ^ 6 y = (\ frac {e ^ {iy} + e ^ {- iy}} {2}) ^ 6 [/ matemáticas] expandiéndose por teorema binomial

[matemáticas] = \ frac {1} {2 ^ 6} \ {e ^ {i6y} + e ^ {- i6y}) + 6 (e ^ {i4y} + e ^ {- i4y}) + 15 (e ^ {i2y} + e ^ {- i2y} +20 \} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {2 ^ 6} \ {2 \ cos 6y + 6 (2 \ cos 4y) +15 (2 \ cos 2y) +20 \} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {32} \ {\ cos 6y + 6 (\ cos 4y) +15 (\ cos 2y) +10 \} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {32} \ {\ cosh 6t + 6 (\ cosh 4t) +15 (\ cosh 2t) +10 \} [/ matemáticas]

Al integrar

[matemáticas] I = \ frac {a ^ 6} {32} \ {\ sinh 6t + 6 (\ sinh 4t) +15 (\ sinh 2t) +10 \} | _0 ^ {t_1} [/ matemáticas] donde [ matemáticas] t_1 = \ sinh ^ {- 1} 1 [/ matemáticas]

Ahora [math] \ sinh t_1 = 1 [/ math]; [math] \ cosh t_1 = \ sqrt {1 + 1 ^ 2} = \ sqrt 2 [/ math]

Puedes evaluar lo siguiente.

[matemáticas] \ sinh 2t_1 = 2 \ sqrt 2 [/ matemáticas]; [matemáticas] \ sinh 4t_1 = 12 \ sqrt 2 [/ matemáticas]; [matemáticas] \ sinh 6t_1 = 70 \ sqrt 2 [/ matemáticas]

Finalmente [matemáticas] \ boxed {I = \ frac {a ^ 6} {48} (67 \ sqrt 2 + 15 \ sinh ^ {- 1} 1)} [/ math]

Answer 2

¡Bien! La clave de esta pregunta es lo que se ha hecho después de sustituir x … Después de sustituir, existe esta cosa llamada fórmula de reducción con la que puede simplificar la integral mediante una relación de recurrencia.

¡Salud!