¿Cómo debo demostrar que [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ k (-3) ^ {r-1} \ cdot ^ {3n} C_ {2r-1} = 0 [/ matemáticas], donde [ matemática] \ displaystyle k = \ frac {3n} {2} [/ math] y [math] \ displaystyle n = 2m [/ math] donde, [math] \ displaystyle m \ in \ mathbb {N} [/ math] ?

Answer 1

Algunas correcciones a la pregunta primero. Debería ser incluso entero y ni siquiera primo entero. Solo hay un entero primo par y es 2. Entonces, la pregunta es asombrosamente fácil si n es un entero primo par.

Ahora, por la solución.

Considere la expansión para, [matemáticas] (1 + \ sqrt {3} i) ^ {3n} = 1 + (\ sqrt {3} i) \ binom {3n} {1} + (\ sqrt {3} i) ^ 2. \ Binom {3n} {2} +… .. + (\ sqrt {3} i) ^ {3n} \ binom {3n} {3n} [/ matemáticas] ———————- (1 )

Además, considere la expansión para, [matemáticas] (1 – \ sqrt {3} i) ^ 3n = 1 – (\ sqrt {3} i) \ binom {3n} {1} + (\ sqrt {3} i) ^ 2. \ Binom {3n} {2} +… .. + (\ sqrt {3} i) ^ {3n}. (- 1) ^ {3n} \ binom {3n} {3n} [/ math] – ——————— (2)

Restando la expresión (2) de (1), obtenemos

[matemáticas] (1 + \ sqrt {3} i) ^ {3n} – (1 – \ sqrt {3} i) ^ {3n} = 2. [\ sqrt {3} i \ binom {3n} {1} + (\ sqrt {3} i) ^ 3. \ binom {3n} {3} + (\ sqrt {3} i) ^ 5. \ binom {3n} {5} +… ..] [/ matemáticas]

RHS = [matemáticas] 2. \ sqrt {3} i. [\ Binom {3n} {1} + (-3) \ binom {3n} {3} + (-3) ^ 2 \ binom {3n} {5 } +… +…] [/ Matemáticas]

= [matemáticas] 2. \ sqrt {3} i. [\ sum_ {r = 1} ^ k (-3) ^ {r-1}. \ binom {3n} {2r-1}] [/ math]

Para demostrar que el RHS es cero, es suficiente demostrar que el LHS es decir [matemática] (1 + \ sqrt {3} i) ^ {3n} – (1 – \ sqrt {3} i) ^ {3n} [/ matemáticas] es cero.

No es difícil demostrar eso después de aplicar el Teorema de DE-Moivre.

LHS = [matemáticas] 2 ^ {3n}. [(\ Cos \ frac {\ pi} {3} + i. \ Sin \ frac {\ pi} {3}) ^ {3n} – (\ cos \ frac { \ pi} {3} – i. \ sin \ frac {\ pi} {3}) ^ {3n}] [/ math]

= [matemáticas] 2 ^ {3n}. [2i. \ sin (n. \ pi)] [/ math] [Usando el hecho de que [math] (cos \ theta + i. sin \ theta) ^ n = cos n. \ theta + i. sen n. \ theta [/ math]]

Ahora [math] sin (n. \ Pi) = 0 [/ math] para todos los enteros n.

Por lo tanto, LHS = 0.

Entonces, RHS = 0 y, en última instancia, la expresión dada también es cero.

Answer 2

-_- ¡Tipo! ¡Esta pregunta me golpeó la mierda dos veces! _/\_ EL RESPETO…

Dado que n es un número entero positivo

n = 2m , donde m = 1, 2, 3, …

y [matemáticas] \ displaystyle k = \ frac {3n} {2} = \ frac {3 \ left (2m \ right)} {2} = 3m [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto S = \ sum_ {r = 1} ^ {3m} \ left (-3 \ right) ^ {r-1}. ^ {6m} C_ {2r-1} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left (-3 \ right) ^ {0}. ^ {6m} C_1 + \ left (-3 \ right) ^ {6m} C_3 +… + \ left (-3 \ right) ^ {3m -1} \ cdot ^ {6m} C_ {6m-1} [/ math] … (i)

Ahora sabemos que

[matemáticas] \ displaystyle \ left (1 + x \ right) ^ {6m} = ^ {6m} C_0 + ^ {6m} C_1x + ^ {6m} C_2x ^ {2} +… + ^ {6m} C_ {6m-1 } x ^ {6m-1} + ^ {6m} C_ {6m} x ^ {6m} [/ matemáticas] … (ii)

[matemáticas] \ displaystyle \ left (1-x \ right) ^ {6m} = ^ {6m} C_0 + ^ {6m} C_1 (-x) + ^ {6m} C_2 (-x) ^ {2} +… + ^ {6m} C_ {6m-1} (- x) ^ {6m-1} + ^ {6m} C_ {6m} (- x) ^ {6m} [/ matemáticas] … (iii)

Restar (iii) de (ii)

[matemáticas] \ displaystyle \ left (1 + x \ right) ^ {6m} – \ left (1-x \ right) ^ {6m} = 2 \ left [^ {6m} C_1x + ^ {6m} C_3x ^ {3 } +… + ^ {6m} C_ {6m-1} x ^ {6m-1} \ right] [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ frac {\ left (1 + x \ right) ^ {6m} – \ left (1-x \ right) ^ {6m}} {2x} = \ left [^ {6m} C_1 + ^ {6m} C_3x ^ {2} +… + ^ {6m} C_ {6m-1} x ^ {6m-2} \ right] [/ math]

Deje [math] \ displaystyle x ^ {2} = t [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ frac {\ left (1+ \ sqrt {t} \ right) ^ {6m} – \ left (1- \ sqrt {t} \ right) ^ {6m}} {2 \ sqrt {t}} = ^ {6m} C_1 + ^ {6m} C_3t +… + ^ {6m} C_ {6m-1} t ^ {3m-1} [/ matemáticas]

para la suma requerida pondremos t = -3 en RHS

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto S = \ frac {\ left (1+ \ sqrt {-3} \ right) ^ {6m} – \ left (1- \ sqrt {-3} \ right) ^ {6m}} {2 \ sqrt {-3}} = \ frac {\ left (1 + i \ sqrt {3} \ right) ^ {6m} – \ left (1-i \ sqrt {3} \ right) ^ {6m} } {2i \ sqrt {3}} [/ matemáticas]

Y aquí entra en juego mi iota, bienvenido al mundo imaginario …

Deje [math] \ displaystyle \ space z = 1 + i \ sqrt {3} = r \ left (\ cos \ theta + i \ sin \ theta \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle r = \ left | z \ right | = \ sqrt {1 ^ {2} + \ left (\ sqrt {3} \ right) ^ {2}} = 2 \ space [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ space \ theta = \ tan ^ {- 1} \ left (\ sqrt {3} \ right) = \ frac {\ pi} {3} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto z ^ {6m} = \ left [r \ left (\ cos \ theta + i \ sin \ theta \ right) \ right] ^ {6m} = r ^ {6m} \ left (cos 6m \ theta + i \ sin 6m \ theta \ right) [/ math]

y [matemáticas] \ displaystyle \ space (\ bar {z}) ^ {6m} = \ left [r \ left (\ cos \ theta -i \ sin \ theta \ right) \ right] ^ {6m} = r ^ {6m} \ left (cos 6m \ theta-i \ sin 6m \ theta \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow z ^ {6m} – \ bar {z} ^ {6m} = r ^ {6m} \ left (2i \ sin 6m \ theta \ right) [/ math]

de la ecuación (i) , obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle S = \ frac {z ^ {6m} – \ bar {z} ^ {6m}} {2i \ sqrt {3}} = \ frac {r ^ {6m} (2i \ sin 6m \ theta )} {2i \ sqrt {3}} = \ frac {2 ^ {6m} \ sin 6m \ theta} {\ sqrt {3}} = 0 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ left [\ porque m \ epsilon Z; \ space \ theta = \ frac {\ pi} {3} \ right] [/ math]

Ahora, eso es lo que yo llamo una pregunta “zabardast”.

Shukriya 🙂

Answer 3

El único entero primo par es 2. Entonces pon n = 2 y por lo tanto k = 3 y encuentra el valor.
Puede demostrar fácilmente que no hay primos pares que no sean 2 como este: Sea S un primo par que no sea 2. Entonces S es múltiplo de 2 como es par. Pero entonces S no será primo ya que tiene factores distintos de 1 y S
en sí mismo es decir 2