¿Qué es una explicación intuitiva de la multiplicidad cero / raíz en un polinomio?

Answer 1

La multiplicidad de una raíz le indica si el polinomio (localmente, es decir, alrededor de la raíz) se parece a [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas], [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas] …

Primero, recordemos cómo son estos polinomios:

Aquí [math] y = x [/ math] está en azul, [math] y = x ^ 2 [/ math] está en rojo y [math] y = x ^ 3 [/ math] está en verde.

Observe que, de todos estos, el que tiene la intersección más simple es [matemática] y = x [/ matemática], simplemente pasa directamente a través del eje x, en un ángulo agudo. Este no es el caso con [matemática] y = x ^ 2 [/ matemática] o [matemática] y = x ^ 3 [/ matemática], ambas son tangentes al eje x en el punto de interés. Es posible que observe que [math] y = x ^ 3 [/ math] está más cerca del eje x (al menos inicialmente) que [math] y = x ^ 2 [/ math].

Este es un fenómeno general: cuanto mayor sea [matemática] n [/ matemática], mayor será el rango en el que [matemática] x ^ n \ aprox 0 [/ matemática] es una aproximación decente. Si está familiarizado con el cálculo, esto puede expresarse de una manera diferente: a medida que [matemática] n [/ matemática] crece, las derivaciones cada vez mayores de [matemática] x ^ n [/ matemática] desaparecen alrededor de [matemática] x = 0 [/ matemáticas].

Entonces, para los polinomios [math] y = x, x ^ 2, x ^ 3, \ ldots [/ math], la multiplicidad es lo mismo que el grado del polinomio, y captura información sobre cómo se comporta el polinomio [ matemáticas] x = 0 [/ matemáticas].

¿Qué pasa con los polinomios generales? Bueno, supongamos que tengo un polinomio [matemática] P (x) [/ matemática] y [matemática] P (x_0) = 0 [/ matemática]. Si la multiplicidad de [math] x_0 [/ math] es [math] n [/ math], entonces puedo escribir [math] P (x) = (x – x_0) ^ n Q (x) [/ math], donde [math] Q (x) [/ math] ahora es algún otro polinomio tal que [math] Q (x_0) \ neq 0 [/ math].

¿Cómo ayuda esto? Bueno, si [matemáticas] x \ aprox x_0 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] P (x) \ aprox (x – x_0) ^ n Q (x_0) [/ matemáticas] —pero esto es solo [matemáticas] y = x ^ n [/ math], desplazado para que la intersección ocurra en [math] x = x_0 [/ math], y escalado por algún factor distinto de cero [math] Q (x_0) [/ math].

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Como comentario interesante, la multiplicidad de una raíz de un polinomio tiene un análogo en la factorización prima de un número entero.

Recuerde que cualquier número entero [math] n [/ math] puede escribirse (únicamente) como un producto finito de primos [math] n = p_1 ^ {e_1} p_2 ^ {e_2} \ ldots p_n ^ {e_n} [/ math] .

Afirmo que esto está en analogía directa con la capacidad de descomponer un polinomio como producto finito de términos lineales [matemática] (x – x_0) [/ matemática]:

[matemáticas] P (x) = C (x – x_1) ^ {e_1} (x – x_2) ^ {e_2} \ ldots (x – x_n) ^ {e_n} [/ matemáticas].

Ignora el factor constante [matemática] C [/ matemática] al frente. Es necesario, pero irrelevante para la siguiente discusión.

Esencialmente, debe pensar en los términos [matemáticas] (x – x_i) [/ matemáticas] como los primos en el contexto de polinomios complejos. Un polinomio [matemático] P (x) [/ matemático] que tiene una raíz en un punto [matemático] x_i [/ ​​matemático] es análogo a un entero [matemático] n [/ matemático] divisible por un primo [matemático] p_i [ /matemáticas].

En ambos casos, tenemos una multiplicidad: sí, sabemos que un entero es divisible por un primo [math] p_i [/ ​​math], pero a menudo queremos saber cuál es el poder más alto de este primo que dividirá el entero ( esto da información teórica de números importantes). Del mismo modo, podríamos saber que un polinomio tiene una raíz en [math] x = x_i [/ ​​math], pero por las razones que he descrito anteriormente, también podríamos querer saber cuál es el poder más alto de [math] (x – x_i) [/ math] que dividirá nuestro polinomio.

Answer 2

Como muchas convenciones matemáticas, la convención se reduce a “porque es útil hacerlo”.

Si no permitiste múltiples raíces, entonces el teorema fundamental del álgebra aún podría establecerse, pero sería más complicado. Lo “importante” del teorema fundamental es que los números complejos son suficientes para factorizar completamente cualquier polinomio. Por lo general, se dice que tiene exactamente N raíces en un polinomio de grado N, pero hay otras formas en que podríamos abordarlo. Simplemente simplifica un poco las cosas al afirmar que las “raíces N” cuentan la multiplicidad, no la identidad.

Hay muchas aplicaciones de raíces polinomiales donde la multiplicidad importa.

Lo más simple es factorizar. A factores polinómicos en términos [matemática] (xr) [/ matemática] para cada una de sus raíces. Una raíz con multiplicidad 2 le dice que tendrá dos términos [math] (xr) [/ math]. Si ignoras la multiplicidad, entonces el polinomio no se factorizará correctamente.

Otro es en álgebra lineal. Tomemos la matriz.

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 2 && 0 \\ 0 && 2 \ end {pmatrix} [/ math]

Esto tiene un polinomio característico [matemático] (\ lambda – 2) ^ 2 = 0 [/ matemático] que obviamente tiene una raíz dual en 2. Pero nuevamente el hecho de que es una raíz dual es significativo. Cada valor propio (cada raíz del polinomio característico) viene con un vector propio, por lo que en realidad hay dos vectores propios con valor propio 2. (Tenga en cuenta que [matemática] (1,0) [/ matemática] y [matemática] (0,1) [/ math] se duplican cuando los multiplica por esta matriz, y son linealmente independientes).

En ambos casos, es más simple si admitimos que las raíces son un conjunto múltiple, no un conjunto, y que cada raíz en el conjunto múltiple corresponde a otra cosa (un factor o un vector propio).

Answer 3

Una característica importante es si una multiplicidad raíz es un número par o un número impar. Si es par, entonces el polinomio “rebota” fuera del eje. Es decir, tiene el mismo signo en ambos lados de la raíz. Si es extraño, entonces el polinomio pasa a través del eje para que tenga signos opuestos a cada lado de la raíz.

Intuitivamente, también te dice cuán “fuerte” de un cero es. Suponga que p (x) y q (x) son polinomios que son ambos cero en un punto x = a. ¿Qué puede decir acerca de [matemáticas] \ frac {p (x)} {q (x)} [/ matemáticas] cerca de x = a? Si conecta un a la expresión, obtiene [math] \ frac {0} {0}, [/ math] que no está definido. Considere que a medida que x se acerca a a, la q (x) en el denominador se vuelve muy pequeña, lo que quiere conducir la fracción al infinito, pero la p (x) en el numerador también es muy pequeña y quiere conducir la fracción a 0. ¿Quién ganará este tira y afloja entre 0 e infinito? Eso depende de la multiplicidad de la raíz tanto en p (x) como en q (x).

Si la p tiene una multiplicidad menor que q para la raíz en x = a, entonces q ganará y la función tenderá al infinito cuando x se acerque a a, produciendo una asíntota en la gráfica. Si p tiene una multiplicidad mayor que q tiene para la raíz en x = a, entonces p gana y la función tenderá a cero. Si p tiene la misma multiplicidad que q para la raíz x = a, entonces se “vincularán” en su tira y afloja, y la función terminará acercándose a un valor finito distinto de cero. Aparecerá como un agujero en el gráfico. Intente graficar los cocientes de los siguientes polinomios en wolfram alpha o una calculadora gráfica para ver este comportamiento alrededor de x = 0:

[matemáticas] p (x) = x ^ 3 + x ^ 2 [/ matemáticas] (multiplicidad 2)

[matemáticas] q (x) = x ^ 3-2x ^ 2-x [/ matemáticas] (multiplicidad 1)

[matemáticas] r (x) = 2x ^ 4-x ^ 2 [/ matemáticas] (multiplicidad 2)

Esta idea de cómo “fuertemente” una función tira una gráfica hacia cero o infinito no se limita a los polinomios. Por ejemplo, puede preguntar sobre el comportamiento de [math] \ frac {\ sin (x)} {2 ^ x-1} [/ math] cerca de 0, y descubre que también se “vinculan” de esta manera, y la función se aproxima a [matemáticas] \ frac {1} {\ ln (2)} [/ matemáticas] a medida que x se acerca a 0, que puede calcularse mediante la regla de l’Hopital. De hecho, esta idea surgió hoy en una clase mía como amigo y estaba analizando qué sucede con la función [matemáticas] \ frac {e ^ {- \ frac {1} {4 | x |}}} { \ sqrt {| x |}} [/ math] a medida que x se acerca a 0. Aquí la regla de l’Hopital no fue de ayuda, pero pudimos determinar por otros medios que el numerador gana, y la función se pone a 0. De todos modos, este concepto se encuentra en muchas áreas de las matemáticas, desde análisis de Fourier hasta álgebra lineal, análisis complejo y más. Es esencial para el comportamiento local de la función.

Answer 4

Una forma de decidir si una raíz [matemáticas] c [/ matemáticas] de un polinomio [matemáticas] p (x) [/ matemáticas] es una raíz múltiple (es decir, la multiplicidad de [matemáticas] c [/ matemáticas] es mayor de uno) es el siguiente resultado:

[matemática] c [/ matemática] es una raíz múltiple de [matemática] p (x) [/ matemática] si y solo si es una raíz de [matemática] p (x) [/ matemática] y de [matemática] p ‘(x) [/ math], donde [math] p’ (x) [/ math] denota la derivada de [math] p (x) [/ math] con respecto a [math] x [/ math].

Esto se puede extender aún más:

[matemática] c [/ matemática] es una raíz de [matemática] p (x) [/ matemática] con multiplicidad mayor que dos si y solo si es una raíz de [matemática] p (x) [/ matemática], [ matemáticas] p ‘(x) [/ matemáticas] y [matemáticas] p’ ‘(x) [/ matemáticas].

[matemática] c [/ matemática] es una raíz de [matemática] p (x) [/ matemática] con multiplicidad mayor que tres si y solo si es una raíz de [matemática] p (x) [/ matemática], [ matemática] p ‘(x) [/ matemática], [matemática] p’ ‘(x) [/ matemática] y [matemática] p’ ” (x) [/ matemática].

y así.

Por lo tanto, la multiplicidad de [matemática] c [/ matemática] como raíz de [matemática] p (x) [/ matemática] es [matemática] q [/ matemática] si y solo si [matemática] p (c) = 0 , p ‘(c) = 0, p’ ‘(c) = 0, \ ldots, p ^ {(q-1)} (c) = 0 [/ math] y [math] p ^ {(q)} (c) \ ne 0 [/ math], donde [math] p ^ {(n)} (x) [/ math] denota la [math] n ^ \ textrm {th} [/ math] derivada de [math] p (x) [/ math] con respecto a [math] x [/ math].

La ‘definición’ anterior de multiplicidad funciona incluso si es uno o cero.

Voy a demostrar la primera afirmación; los otros siguen usando una prueba similar.

Sea [math] c [/ math] una raíz de [math] p (x) [/ math] con multiplicidad [math] q [/ math]. Entonces [math] p (x) = (xc) ^ qr (x) [/ math] para algún polinomio [math] r (x) [/ math] que no tiene [math] c [/ math] como raíz . La derivada de [matemáticas] p (x) [/ matemáticas] es [matemáticas] p ‘(x) = (xc) ^ q r’ (x) + q (xc) ^ {q-1} r (x) = (xc) ^ {q-1} (xr ‘(x) – cr’ (x) + qr (x)) [/ math]. Si [matemática] q> 1 [/ matemática], entonces [matemática] c [/ matemática] es claramente una raíz de [matemática] p ‘(x) [/ matemática]. Sin embargo, si [matemáticas] q = 1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] p ‘(c) = cr’ (c) – cr ‘(c) + qr (c) = qr (c) \ ne 0 [/ matemáticas]. Esto prueba nuestro resultado.