¿Qué es el automorfismo?

Answer 1

En general, un Automorfismo es una simetría que preserva la función biyectiva (permutación) de una entidad matemática a sí misma. Aquí hay una explicación usando la teoría de grupo:
En el contexto de la teoría de grupo , un automorfismo es un isomorfismo de un grupo a sí mismo.

Más formalmente hablando:
Dado un grupo [matemática] G = [/ Matemática] y una función [matemática] f: G \ a G [/ matemática]
Si [math] f (ab) = f (a) f (b), [/ math] [math] \ forall a, b \ in G [/ math], [math] f [/ math] es un Automorfismo

Es útil notar que la función de identidad : [matemáticas] f (x) = x [/ matemáticas], es el isomorfismo trivial de un grupo en sí mismo.

La forma más fácil de pensar en Automorfismos no triviales es pensar en un grupo cíclico y, literalmente, crear un mapeo inverso a sí mismo.
Entonces, dado [matemáticas] G = = \ {A_ {0}, a_ {1}, …, a_ {n} \}, \ ni, G [/ matemáticas] es cíclico , suponga que, el el ciclo tiene la forma: [matemáticas] a_ {0} \ a a_ {1} \ a … \ a a_ {n} \ a a_ {0} [/ matemáticas]. Entonces, uno puede ver que una permutación (una biyección de la simetría) que hace que su estructura permanezca sin cambios es el mapeo: [math] f (a_ {i}) = a_ {n – i} [/ math]. Si hacemos esta asignación, se preserva la operación de “adyacencia”. Entonces,
[matemáticas] f (a_ {i} a_ {i + 1}) = (f (a_ {2i + 1})) \ vee (f (a_ {2i + 1 – n})) = (a_ {n – 2i – 1}) \ vee (a_ {2 (n – i) – 1}) \\ [/ math]
[matemáticas] f (a_ {i}) f (a_ {i + 1}) = a_ {n – i} a_ {n – i – 1} = (a_ {2n – 2i – 1}) \ vee (a_ { n – i + n – i – 1 – n}) = (a_ {2 (n – i) – 1}) \ vee (a_ {n – 2i – 1}) \\ [/ math]
Claramente, [matemáticas] f (a_ {i} a_ {i + 1}) = f (a_ {i}) f (a_ {i + 1}), \ forall i, i +1 \ in [0, n – 1] [/ matemáticas].
Por lo tanto, vemos que esta permutación simétrica de 180 grados es un automorfismo para el grupo cíclico [matemáticas] G [/ matemáticas], donde [matemáticas] ord (G) = n [/ matemáticas]

Informalmente, uno puede pensar en un Automorfismo como una función de preservación de simetría de un Grupo en sí mismo.

Answer 2

En matemáticas, un automorfismo es un isomorfismo de un objeto matemático en sí mismo. Es, en cierto sentido, una simetría del objeto, y una forma de mapear el objeto consigo mismo mientras conserva toda su estructura. El conjunto de todos los automorfismos de un objeto forma un grupo llamado grupo de automorfismos. Es, en términos generales, el grupo de simetría del objeto.

Esta es la definición de automorfismo.

fuente: wikipedia