¿Qué es [matemáticas] \ Pr [X \ ge Y] [/ matemáticas] cuando [matemáticas] X, Y [/ matemáticas] son ​​variables aleatorias independientes con distribución exponencial?

Answer 1

Deje que [math] X \ sim \ text {Expo} (\ lambda) [/ math] y [math] Y \ sim \ text {Expo} (\ mu) [/ math]

[matemáticas] \ Pr (X \ geq Y) [/ matemáticas]

[math] = \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty \ Pr (X \ geq Y | Y = y) f_Y (y) dy [/ math] (Por ley de probabilidad total)

[math] = \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty \ Pr (X \ geq y | Y = y) f_Y (y) dy [/ math] (Sustituyendo [math] Y = y [/ math])

[math] = \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty \ Pr (X \ geq y) f_Y (y) dy [/ math] (Por independencia de [math] X [/ math] y [math] Y [/ math])

[matemática] = \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ lambda y} \ mu e ^ {- \ mu y} dy [/ math]

[math] = \ displaystyle \ frac {\ mu} {\ lambda + \ mu} \ int_0 ^ \ infty (\ lambda + \ mu) e ^ {- (\ lambda + \ mu) y} dy [/ math]

[math] = \ displaystyle \ frac {\ mu} {\ lambda + \ mu} [/ math]

Answer 2

Deje [math] X \ sim \ exp (\ lambda) [/ math] y [math] Y \ sim \ exp (\ kappa) [/ math].

Obtenemos, para un valor dado de [matemáticas] X = x [/ matemáticas], que [matemáticas] Pr (X \ geq Y) = \ int_0 ^ x \ kappa e ^ {- \ kappa y} dy = \ kappa \ int_0 ^ xe ^ {- \ kappa y} dy = 1 – e ^ {- \ kappa x} [/ math].

Ahora, tomando la expectativa sobre esto con respecto a [matemáticas] X [/ matemáticas], obtenemos:

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} \ lambda e ^ {- \ lambda x} (1 – e ^ {- \ kappa x}) dx [/ matemáticas]

Resolver esto da [matemáticas] 1 – \ frac {\ lambda} {\ lambda + \ kappa} = \ frac {\ kappa} {\ lambda + \ kappa}. [/ Math]

Answer 3

Permítanme responder una pregunta más general: ¿qué es [matemática] \ Pr [X \ ge Y] [/ matemática] donde [matemática] X, Y [/ matemática] se extraen de cualquier distribución continua? Bueno, dado que no tenemos conocimiento a priori de X o Y, [matemáticas] \ Pr [X \ ge Y] = \ Pr [Y \ ge X] [/ matemáticas], y para una variable aleatoria continua no constante [matemáticas] \ Pr [Y \ ge X] = \ Pr [Y> X] [/ matemáticas]. Pero [matemáticas] \ Pr [X \ ge Y] + \ Pr [Y> X] = 2 \ Pr [X \ ge Y] = 1 [/ matemáticas], y por lo tanto [matemáticas] \ Pr [X \ ge Y] = \ frac12 [/ matemáticas]