¿Cuál es la integral indefinida [matemáticas] \ int \ frac {1} {2 \ cos \ theta -1} d \ theta [/ matemáticas]?

Answer 1

Otra forma más: –

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ frac {1} {2 \ cos \ theta – 1} d \ theta [/ math]

Recuerde que [math] \ displaystyle \ cos \ theta = \ frac {e ^ {i \ theta} + e ^ {- i \ theta}} {2} [/ math] para obtener:

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ frac {1} {e ^ {i \ theta} + e ^ {- i \ theta} – 1} d \ theta [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ frac {1} {e ^ {i \ theta} + \ frac {1} {e ^ {i \ theta}} – 1} d \ theta [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ frac {1} {\ frac {{(e ^ {i \ theta})} ^ 2 + 1 – e ^ {i \ theta}} {e ^ {i \ theta}} } d \ theta [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ frac {e ^ {i \ theta} d \ theta} {(e ^ {i \ theta}) ^ 2 – e ^ {i \ theta} + 1} [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle u = i \ theta \ implica du = id \ theta \ implica d \ theta = \ frac {du} {i} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {i} \ int \ frac {e ^ udu} {({e ^ {u})} ^ 2 – e ^ {u} + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle w = e ^ u \ implica dw = e ^ u du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {i} \ int \ frac {dw} {w ^ 2 – w + 1} [/ matemáticas]

aplicando completar el método cuadrado en el denominador:

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {i} \ int \ frac {dw} {(w – \ frac {1} {2}) ^ 2 + \ frac {3} {4}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle t = w- \ frac {1} {2} \ implica dt = dw [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {i} \ int \ frac {dt} {t ^ 2 + \ frac {3} {4}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {i} \ int \ frac {dt} {t ^ 2 + {\ left (\ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right)} ^ 2} [ /matemáticas]

ahora, esta integral es de la forma estándar [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {dx} {x ^ 2 + a ^ 2} = \ frac {1} {a} \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {x} {a} \ right) + c [/ math], entonces tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {\ frac {\ sqrt {3} i} {2}} \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {t} {\ frac {\ sqrt {3} } {2}} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {-2i} {\ sqrt {3}} \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2t} {\ sqrt {3}} \ right) [/ math]

y ahora, deshagamos todas las sustituciones:

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {-2i} {\ sqrt {3}} \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2 (w – \ frac {1} {2})} {\ sqrt { 3}} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {-2i} {\ sqrt {3}} \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2w- 1} {\ sqrt {3}} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {-2i} {\ sqrt {3}} \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2e ^ u- 1} {\ sqrt {3}} \ right) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {-2i} {\ sqrt {3}} \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2e ^ {i \ theta} – 1} {\ sqrt {3}} \ derecha) + c [/ matemáticas]

---

Prueba de la integral estándar [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {dx} {x ^ 2 + a ^ 2} = \ frac {1} {a} \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {x} {a} \ right) + c [/ math]: –

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ frac {dx} {x ^ 2 + a ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x = a \ tan \ theta \ implica dx = a \ sec ^ 2 \ theta d \ theta [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ frac {a \ sec ^ 2 \ theta d \ theta} {a ^ 2 \ tan ^ 2 \ theta + a ^ 2} [/ matemáticas]

[matemática] \ displaystyle = \ int \ frac {a \ sec ^ 2 \ theta d \ theta} {a ^ 2 (\ tan ^ 2 \ theta + 1)} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ frac {a \ sec ^ 2 \ theta d \ theta} {a ^ 2 \ sec ^ 2 \ theta} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ require {cancel} = \ int \ frac {\ cancel {a} \ cancel {\ sec ^ 2 \ theta} d \ theta} {a ^ {\ cancel {2} \ thinspace 1} \ cancel {\ sec ^ 2 \ theta}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ frac {d \ theta} {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {a} \ int d \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {a} \ theta [/ matemáticas]

y ahora, [matemáticas] \ displaystyle x = a \ tan \ theta \ implica \ frac {x} {a} = \ tan \ theta \ implica \ theta = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {x} {a} \ right) [/ math], entonces

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {a} \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {x} {a} \ right) + c [/ math]

QED

Answer 2

Tendería a usar las fórmulas de medio ángulo para tales integrales, aunque eso podría no ser necesario. Entonces con [math] t = \ tan (\ theta / 2), 2 dt = \ sec ^ 2 (\ theta / 2) d \ theta [/ math] y el integrando se convierte en [math] 2 (1-t ^ 2 ) ^ 2 / ((1 + t ^ 2) (2 (1-t ^ 2) – (1 + t ^ 2))) [/ math]. Esto se simplifica un poco, pero lo importante es que es una función racional de t y, por lo tanto, cede a fracciones parciales.

Answer 3

Cuando tenemos una función racional con seno o coseno en el denominador, es bueno usar u = tan (θ / 2) para convertirlo en una función racional de u. Como tenemos u = tan (θ / 2), se deduce que

du = 1/2 (sec (θ / 2)) ^ 2 dθ por la regla de la cadena

Entonces, dθ = 2du / (1 + u ^ 2)

y

cos θ = (1-u ^ 2) / (1 + u ^ 2)

Sustituyendo esto, tenemos

∫ 1 / (2 cos θ -1) dθ = ∫ 1 / (2 (1-u ^ 2) / (1 + u ^ 2) -1) (2du / (1 + u ^ 2))

Esto se puede simplificar a

∫ 2 / (1-3u ^ 2) du

De aquí en adelante, es bastante sencillo. Encuentra la descomposición de la fracción parcial, expresa la integral en términos de u, y luego sustituye u = tan (θ / 2) y simplifica. Esto debería dar como resultado la respuesta que tenía 🙂

La solución Wolfram Alpha es buena para comprender cómo hacer el resto si no está seguro.

Answer 4

Aquí hay una forma alternativa de resolver este problema:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2 \ cos \ theta – 1} = \ frac {1} {2 \ cos ^ 2 \ frac {\ theta} {2} – 2 \ sin ^ 2 \ frac {\ theta} {2} – \ cos ^ 2 \ frac {\ theta} {2} – \ sin ^ 2 \ frac {\ theta} {2}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {\ cos ^ 2 \ frac {\ theta} {2} – 3 \ sin ^ 2 \ frac {\ theta} {2}} = \ frac {\ sec ^ 2 \ frac {\ theta} {2}} {1 – 3 \ tan ^ 2 \ frac {\ theta} {2}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {2} \ frac {\ sec ^ 2 \ frac {\ theta} {2}} {1 + \ sqrt {3} \ tan \ frac {\ theta} {2} } + \ frac {1} {2} \ frac {\ sec ^ 2 \ frac {\ theta} {2}} {1 – \ sqrt {3} \ tan \ frac {\ theta} {2}} [/ math ]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ frac {\ frac {\ sqrt {3}} {2} \ sec ^ 2 \ frac {\ theta} {2}} {1 + \ sqrt {3} \ tan \ frac {\ theta} {2}} – \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ frac {- \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ sec ^ 2 \ frac {\ theta} {2}} {1 – \ sqrt {3} \ tan \ frac {\ theta} {2}} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1} {2 \ cos \ theta – 1} d \ theta = \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ int \ frac {\ frac {\ sqrt {3} } {2} \ sec ^ 2 \ frac {\ theta} {2}} {1 + \ sqrt {3} \ tan \ frac {\ theta} {2}} d \ theta – \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ int \ frac {- \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ sec ^ 2 \ frac {\ theta} {2}} {1 – \ sqrt {3} \ tan \ frac {\ theta} {2}} d \ theta [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ log \ left (1 + \ sqrt {3} \ tan \ frac {\ theta} {2} \ right) – \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ log \ left (1 – \ sqrt {3} \ tan \ frac {\ theta} {2} \ right) + C [/ math]

Answer 5

Usando la formulación de medio ángulo para esta integral, calculo esta integral por Wolfram-alpha y muestro los resultados como capturas de pantalla. Como las siguientes imágenes.

Podemos sustituir u = tan (x / 2) y du = 1/2 dx sec ^ 2 (x / 2), luego la integral usando la sustitución sin (x) = 2u / (u ^ 2 + 1), cos (x) = (1-u ^ 2) / (1 + u ^ 2) y dx = 2du / (u ^ 2 + 1):

Para que lo entiendas .