¿Cómo se puede probar que la derivada de [matemáticas] \ sen x [/ matemáticas] es [matemáticas] \ cos x [/ matemáticas]?

Answer 1

Haz una gráfica de y = [matemáticas] \ sen x [/ matemáticas]. Sería una curva repetitiva en forma de onda, intersectando los ejes en el origen.

Ahora dibuje la tangente en cada punto que pueda imaginar en esa curva y trace la pendiente de esa curva en un gráfico separado.

¡¡BINGO!! Has descubierto la derivada de [math] \ sen x [/ math] que se parece a [math] \ cos x [/ math], porque lo es.

Eso es geometría. 🙂

Ahora procede usando la definición de derivada:

Si toma la definición de la derivada como:
[matemáticas] \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} (f (x)) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} [/ matemáticas]

entonces podemos encontrar la derivada de [math] \ sin (x) [/ math] aplicando la definición anterior de la siguiente manera:

[matemáticas] \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} (\ sin (x)) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {\ sin {(x + h)} – \ sin (x)} {h} [/ matemáticas]

Entonces podemos usar la prueba de identidad de suma para obtener:

[matemáticas] \ lim_ {h \ a 0} \ frac {\ sin {(x)} \ cos {(h)} + \ cos (x) \ sin (h) – \ sin (x)} {h} [ /matemáticas]

que después de un pequeño reordenamiento da:

[matemáticas] \ sin (x) \; \ lim_ {h \ a 0} [\ frac {(\ cos (h) -1)} {h}] + \ cos (x) \; \ lim_ {h \ to 0} [\ frac {\ sin {(h)}} {h}] [/ math]

Como ya sabemos eso:

[matemáticas] \ lim_ {h \ a 0} \; \; [\ frac {(\ cos (h) -1)} {h}] = 0 \; \; \ text {and} \; \; \ lim_ {h \ to 0} \; [\ frac {\ sin {(h)}} {h}] = 1 [/ math]

Lo que resulta ser:

[matemáticas] \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} (\ sin {(x)}) = \ sin (x) \ times 0+ \ cos (x) \ times 1 = \ cos (x) [/ matemáticas]

Estos dos límites que tomamos como garantizados se pueden resolver fácilmente utilizando el teorema de Squeeze / Sandwitch.

Espero no haber complicado demasiado las cosas. 🙂

¡Ten un tiempo increíble por delante!

Answer 2

Use el primer principio enseñado en derivados y cálculo que establece lo siguiente

La derivada de f (x).

La definición de la derivada de una función y = f (x) es

dy / dx = limδx → 0 (f (x + δx) – f (x) /) δx

entonces

Aquí f (x) = sen x

para que f (x + δx) = sin (x + δx)

Entonces

f (x + δx) – f (x) = sin (x + δx) – sin x

El lado derecho es la diferencia de dos términos sinusoidales. escribe esto en una forma alternativa.

SinA -Sin B = 2Cos ((A + B) / 2) * Sin ((AB) / 2)

sin (x + δx) – sin x =

2 cos (x + δx + x) / 2 * sinδx / 2

= 2 cos (2x + δx) / 2 * sinδx / 2

= 2 cos (x + δx / 2) * sin δx / 2

Luego, usando la definición de la derivada

dy / dx = limδx → 0 (f (x + δx) – f (x)) / δx =

2 * (cos (x + δx / 2) * sin δx / 2) / δx

El factor de 2 se puede mover al denominador de la siguiente manera, para escribir esto en una forma alternativa:

dy / dx = (cos (x + δx / 2) * sin δx / 2) / (δx / 2)

= (cos (x + δx / 2) * sin δx / 2) / δx / 2

Ahora dejamos que δx tienda a cero. Considere el término sin (δx / 2) / δx2

y use el resultado que limθ → 0 (sin θ) / θ = 1 conθ = δx2. Vemos eso

limδx → 0 (sin δx / 2) / δx / 2 = 1

Además, limδx → 0 cos (x + δx / 2) = cos x

Así que finalmente,

dy / dx = cos x

Answer 3

Para probar cualquier fórmula derivada, la forma más simple es usar límites.

Entonces límite h -> 0, d (sinx) / dx = d (sin (x + h) – sin (x) / (x + h – x)

donde h -> 0

expandiendo pecado (x + h) obtenemos

(sinx * cosh + cos x * sin h) – sin x / (h)

cos h -> 1

donde h -> 0

cos h = 1

así es,

sen x + cos x * sen h – sen x / h

= cos x * sen h / h

ahora sen h / h = 1 como h -> 0

= cos x