¿Es [math] \ infty ^ {\ infty ^ {\ infty}} [/ math] realmente infinito o indefinido?

Answer 1

Hay un par de cosas pasando aquí. Primero, eliminemos un error:

• ¡Infinity es solo Infinity! ¡Siempre es lo mismo!

Esto simplemente no es cierto. Para entender por qué, debes entender una definición muy especial de igualdad. Dados dos conjuntos de objetos, decimos que son del mismo “tamaño” si podemos definir un mapeo 1: 1 entre los dos. Por ejemplo, puedo tocar fácilmente exactamente un dedo del pie con cada uno de mis dedos, dando un mapeo 1: 1, por lo tanto, tengo el mismo número de dedos que los dedos de los pies.

Para un ejemplo más matemático, considere los enteros positivos “pares”, 2,4,6,8 … y todos los enteros positivos, 1,2,3,4 … Podría parecer que hay menos números pares, pero de hecho podemos escriba un mapeo 1: 1 muy simple! Dado un número par x, simplemente mapearlo a x / 2. Por lo tanto, el “tamaño” del conjunto de enteros pares positivos es el mismo que el conjunto de todos los enteros positivos.

Quizás estés pensando: ¡ah, ja! Ya ves, ¡hay exactamente un infinito! Pero este no es el caso. Hay una prueba bastante famosa, que es demasiado técnica para esta respuesta, de que hay más números “reales” que números “racionales” (los números racionales son cualquier cosa que se pueda escribir como una fracción de enteros, por ejemplo, 2/3 y 3482985/254).

Resulta que, dado cualquier conjunto, hay una operación bastante simple para construir un conjunto que * debe * ser más grande, incluso si el primer conjunto era infinito. Esto se llama tomar el conjunto de potencia, que consiste en todos los subconjuntos posibles del primer conjunto. Por ejemplo, si comienza con un conjunto {1,2}. Entonces el conjunto de potencia es {(1), (2), (1,2), ()}. Cuando comienzas con conjuntos finitos como este, con N elementos, el resultado siempre tendrá 2 ^ N elementos.

Esto nos da una noción de usar el infinito como exponente. Como resultado, puede elaborar un conjunto completo y coherente de operaciones en varios infinitos, y todo está perfectamente bien definido. ¡El único problema con el que te encontrarás es cuando escribes el símbolo de infinito de lado 8, que no especifica a qué te refieres en absoluto! Por esta razón, los infinitos tienen varios nombres. Por ejemplo, el infinito de los números racionales se llama “Aleph-Null”, y el infinito de los números reales es “Aleph-One”, o “2 al poder Aleph-Null”.

Esperemos que eso le dé un contexto sobre cómo podría ser una respuesta a esto.

Answer 2

¿Eh?

Elevaste el infinito a algún poder y ese poder también es infinito al infinito de poder. Eso es demasiado para mi. 🙂

Infinito no es un número, por lo que puede elevarse a cierta potencia para obtener otro número como resultado. Infinito es un concepto que se utiliza para visualizar el valor límite a medida que el valor de algo es infinitamente grande. Además, el exponente como infinito se usa para encontrar un valor límite a medida que algo se multiplica infinitamente muchas veces.

Si está hablando del valor de la expresión [matemática] {x} ^ {x ^ x} [/ matemática] ya que [matemática] x [/ matemática] tiende a [matemática] \ infty [/ matemática], entonces el valor también tiende a [math] \ infty [/ math].

Las matemáticas son en realidad una asignatura, una asignatura de concepto y ciencia, no una herramienta mágica que saca magia de la nada.

Answer 3

¿Es [math] \ infty ^ {\ infty ^ {\ infty}} [/ math] realmente infinito o indefinido?

Como siempre con el infinito, debe ser muy claro acerca de su definición de infinito si desea que sus expresiones tengan algún significado.

Por lo general, en matemáticas, el símbolo [math] \ infty [/ math] se usa en relación con los límites y no como un valor (numérico). Hay otros símbolos para entidades transfinitas que se pueden usar como valores numéricos, como los números cardinales [math] \ aleph_0 [/ math] y [math] \ beth_1 [/ math], o el número surrealista [math] \ omega [ /matemáticas].

Interpretando su infinito como un límite, la pregunta se convierte en:

¿Cuál es el valor de [math] \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} n ^ {n ^ n} [/ math]?

Esta expresión crece sin límite como [math] n [/ math] crece sin límite. Si abusó de la notación para decir [math] \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} n = \ infty [/ math], entonces podría decir que el valor también es [math] \ infty [/ math], pero yo No lo recomendaría

Con los números cardinales, utilizados para representar el “tamaño” de los conjuntos, sabemos que la cardinalidad del conjunto de potencia (el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto) es estrictamente mayor que la cardinalidad del conjunto. De hecho (asumiendo el Axioma de Elección) tenemos:

[matemáticas] \ quad \ aleph_0 ^ {\ aleph_0} = 2 ^ {\ aleph_0} = \ beth_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad \ aleph_0 ^ {\ beth_1} = 2 ^ {\ beth_1} = \ beth_2 [/ math]

Por lo tanto, [math] \ aleph_0 ^ {\ aleph_0 ^ {\ aleph_0}} = \ beth_2 [/ math] que de hecho es un infinito mucho más grande que [math] \ aleph_0 [/ math]. ¿Es realmente enorme? Bueno, es trivial en comparación con [math] \ beth_3 [/ math] y, como se puede adivinar, siguen creciendo durante mucho tiempo …

Los poderes y exponenciales de los surrealistas transfinitos como [math] \ omega [/ math] también se pueden definir dando un significado a [math] \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega}} [/ math] que es, sorprendentemente, mucho más grande que [matemáticas] \ omega [/ matemáticas]. Con Surreals también tienes infinitesimales y números como [math] \ omega ^ {\ frac1 {\ omega}} [/ math] que resulta ser [math] \ log \ omega [/ math]. El infinito resulta ser un concepto mucho más rico que el símbolo [math] \ infty [/ math] representa 🙂

Answer 4

Tldr: Está definido, pero no es un infinito realmente enorme.

Estoy muy sorprendido de ver que todas las respuestas anteriores tratan la pregunta como si se tratara de números reales. En la teoría de los números ordinales, operaciones como la exponenciación pueden extenderse a los casos infinitos. Cuando se trata de la aritmética ordinal, hay algunos cambios a los que debe ajustarse, el más importante en este caso es diferenciar entre los diferentes tipos de infinito, siendo el más común [math] \ omega [/ math] lo habitual “primero. eso es más grande que cualquier cosa finita “. Entonces, la expresión que le interesa es [math] \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega}} [/ math].

Ahora en lo que se entiende por “infinito realmente enorme”. Por lo general, pensamos en dos infinitos como el mismo tamaño si puede mapearlos biyectivamente entre sí, como podemos hacer con los números naturales y los enteros: aunque los enteros continúan hasta el infinito en dos direcciones, y los números naturales solo van de en uno. El concepto de tamaño que usamos aquí es el de cardinalidad. Los números naturales, enteros y racionales tienen lo que llamamos cardinalidad contable, mientras que los números reales, números complejos, etc. tienen una cardinalidad incontable, que es estrictamente mayor.

Ahora volvamos a la pregunta: ¿es la cardinalidad de [math] \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega}} [/ math] mayor que la de [math] \ omega [/ math]? La respuesta es no, de hecho tienen la misma cardinalidad. Hay muchas formas de mostrar esto, solo aritmética ordinal de google.

Answer 5

Yo no diría tanto indefinido como no bien definido. ¿Qué es el infinito? La mayoría de nosotros lo encontramos en el contexto de los números reales. ¿Qué es el infinito allí? Es solo un límite que dice que algo no tiene límites.

¿Pero qué hay de los sets? En un conjunto, si podemos contar todos los elementos del conjunto y dar como resultado un número natural, no es infinito. Entonces el conjunto {a, 1, h, *} no es infinito porque contiene 4 elementos. Entonces, un conjunto es infinito cuando la cantidad de elementos no es un número natural. Sin embargo, Georg Cantor nos mostró que los conjuntos infinitos pueden ser de diferentes tamaños, notablemente el tamaño de los números reales es mayor que los números naturales.

Desde la época de Cantor, se han realizado más investigaciones, y resulta que podemos pensar en la “exponenciación” con conjuntos. Entonces, cuando tenemos un significado claro y preciso de infinito, ¡de hecho podemos evaluar el exponente!

Answer 6

Debería estar indefinido. Trataré de demostrarlo matemáticamente.

examinemos primero el número [math] \ infty ^ \ infty [/ math].

Este número se define formalmente como [math] \ lim_ {x \ to \ infty, y \ to \ infty} x ^ y [/ math]

¿Existe este límite?

Podemos demostrar fácilmente que cuando [math] x \ to + \ infty, y \ to + \ infty [/ math], el límite diverge a [math] + \ infty [/ math]. cuando [math] x \ to + \ infty, y \ to – \ infty [/ math], el límite converge a 0.

Por lo tanto, el límite no existe, es decir, indefinido.

[math] \ infty ^ \ infty [/ math] no está definido.

Entonces [math] \ infty ^ {\ infty ^ \ infty} [/ math] también está indefinido.

Answer 7

El infinito no es un número. No puede realizar funciones aritméticas en él. El infinito es una idea conceptual de, bueno, infinito.