Dado [math] F (\ beta) = \ int_0 ^ {\ infty} \ exp (- \ beta z) f (z) dz [/ math] para valores reales de [math] \ beta, 0 <\ beta <\ infty [/ math], ¿cómo puedo encontrar [math] f (z) [/ math]?

Answer 1

Primero, debe continuar analíticamente la función [matemática] F (\ beta) [/ matemática] en el plano complejo. Es decir, si la serie Taylor para [math] F (\ beta) [/ math] existe, entonces simplemente deja que [math] \ beta [/ math] tome cualquier valor en el plano complejo.

Luego, multiplique ambos lados por [math] \ exp (\ beta z ‘) [/ math] e integre sobre [math] \ beta [/ math] de [math] -i \ infty [/ math] a [math] i \ infty [/ math],

[matemáticas] \ int _ {- i \ infty} ^ {i \ infty} d \ beta \ F (\ beta) e ^ {\ beta z ‘} = \ int_ {0} ^ {\ infty} f (z) \ int _ {- i \ infty} ^ {i \ infty} d \ beta \ e ^ {\ beta (z’-z)} [/ math]

Ahora hagamos el cambio de variables, [math] \ beta = iu [/ math],

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} du \ F (iu) e ^ {iu z ‘} = \ int_ {0} ^ {\ infty} f (z) \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ beta \ e ^ {iu (z’-z)} [/ math]

Si ha visto algún análisis de Fourier, reconocerá inmediatamente la integral interna en el lado derecho,

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ beta \ e ^ {iu (z’-z)} = 2 \ pi \ delta (z’-z) [/ math]

Entonces,

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} du \ F (iu) e ^ {iu z ‘} = \ int_ {0} ^ {\ infty} f (z) 2 \ pi \ \ delta ( z’-z) = 2 \ pi f (z ‘) [/ matemáticas]

O,

[matemáticas] f (z) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} du \ F (iu) e ^ {iuz} [/ math]

Si la función [matemática] F (\ beta) [/ matemática] tiene polos en el eje imaginario, entonces deberá tomar el valor principal de esta integral.

Answer 2

Ha escrito la definición de la transformada de Laplace: transformada de Laplace

Mire una tabla de la transformada de Laplace (por ejemplo, esta: o vea Transformada inversa de Laplace