¿Cómo resolverías x (7x-6) (9x-2) = 28000?

Answer 1

Lamentablemente, los coeficientes no tienen divisores comunes. Pero si multiplica por 63 ^ 2 y pone y = 63x, obtiene una ecuación para y con coeficientes enteros y coeficiente de y ^ 3 = 1. Dicha ecuación tiene una solución entera o requiere métodos numéricos. Si hay una solución entera para y debe dividir 28000 * 63 ^ 2. Esto limita el número de posibilidades. Sin embargo, en realidad no lo haría de esta manera.

Quizás sea mejor dejar la ecuación como se indica y probar algunos valores pequeños de x. Si x> = 6/7, el lado izquierdo es positivo y aumenta con x. Si x es 100, puede ver fácilmente que el lado izquierdo es mayor que 28000, por lo que puede limitar el rango de valores. Ahora puede probar algo intermedio, digamos 50. Después de algunas bisecciones, puede encontrar una respuesta incluso si no es un número entero. No voy a hacer eso, pero probaré su solución dada, x = 8. El lado izquierdo es 8 * 50 * 70 = 28000. Entonces funciona.

Para ver si hay más soluciones reales, puede factorizar x-8 desde su versión ampliada. Entonces, el otro factor es una ecuación cuadrática que sabes cómo resolver, o verificar el discriminante para ver si hay más raíces reales:
63x ^ 3-68x ^ 2 + 12x-28000 = (x-8) (63x ^ 2-436x + 3500) = 0 y el discriminante para el factor cuadrático es 436 ^ 2 – 4 * 63 * 3500 = -691904 <0 , así que no más raíces reales.

Con más reflexión, debería poder ver que todas las soluciones reales son positivas. Podría dibujar un gráfico del lado izquierdo y eso lo llevará a mejores aproximaciones iniciales.

Los métodos numéricos son mejores para ecuaciones de grado mayor que 2.

Answer 2

[matemáticas] 63x ^ 3-68x ^ 2 + 12x-28000 = 0 [/ matemáticas]

Usando la división sintética (y algunas conjeturas),

69

Podemos ver que el polinomio anterior es divisible por [math] (x-8) [/ math] que produce,

[matemáticas] (x-8) (63x ^ 2 + 436x + 3500) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 8 [/ matemáticas], obviamente es una solución. Entonces lo entendiste bien.

Otra solución es la solución de la ecuación cuadrática, [matemáticas] 63x ^ 2 + 436x + 3500 = 0 [/ matemáticas] que [son],

[matemáticas] \ frac {-436 \ pm \ sqrt {-691904}} {126} [/ matemáticas]

Desafortunadamente, la última solución no se puede graficar fácilmente en el gráfico cartesiano.

Los ceros reales son, [matemáticas] 8, \ frac {-436 \ pm \ sqrt {-691904}} {126} [/ matemáticas]

Gracias por el A2A

Answer 3

La forma más metódica de proceder desde aquí sería enumerar todas las posibles raíces racionales, que están dadas por [matemática] \ pm \ frac {\ factores de texto del término constante} {\ factores de texto del coeficiente principal} [/ matemática ]

Esto le da la lista:

[matemáticas] \ frac {\ pm1, 2, 5, 7, 8, 10, 14, 16, 20, 28, 32 … etc.} {3, 7, 21, 63} [/ matemáticas]

Verificar cada uno de estos por división sintética sería lo más fácil. No dije que era el enfoque más rápido, ¡pero es la mejor manera de comenzar a verificar las respuestas si no está seguro de dónde ir!

Answer 4

El primer paso es intentar probar números enteros que son factores del coeficiente final / constante, y 8 es uno de esos. Como 8 es una raíz, divides por x-8 para obtener

[matemáticas] (x-8)) (63x ^ 2 + 436x + 3500) [/ matemáticas]

El discriminante de la porción cuadrática es [matemática] 436 ^ 2-4 * 63 * 3500 = -691904 [/ matemática] y, como otros han dicho, no hay raíces reales adicionales.