La función Lambert W establece que para un número complejo, diga [math] z [/ math]
Si, [matemáticas] f (z) = z \ cdot e ^ z [/ matemáticas]
Entonces, [matemáticas] f ^ {- 1} (z) = W (z) [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ x = a [/ matemáticas]
- ¿Cuál es el valor de [math] \ lim \ limits_ {x \ to 0 ^ {+}} x- \ lim \ limits_ {y \ to 0 ^ {-}} y [/ math]?
- ¿Qué es una explicación intuitiva de la multiplicidad cero / raíz en un polinomio?
- Dado [math] F (\ beta) = \ int_0 ^ {\ infty} \ exp (- \ beta z) f (z) dz [/ math] para valores reales de [math] \ beta, 0 <\ beta <\ infty [/ math], ¿cómo puedo encontrar [math] f (z) [/ math]?
- ¿Por qué el límite para la pregunta # 4 = -1/4?
- ¿Es [math] \ infty ^ {\ infty ^ {\ infty}} [/ math] realmente infinito o indefinido?
Toma el logaritmo natural de ambos lados
[matemáticas] \ ln (x ^ x) = \ ln (a) [/ matemáticas]
Utilice las propiedades [math] \ log [/ math]
[matemáticas] x \ cdot \ ln (x) = \ ln (a) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln (x) \ cdot e ^ {\ ln (x)} = \ ln (a) [/ matemáticas]
Si toma [matemáticas] z = \ ln (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] z \ cdot e ^ z = \ ln (a) [/ matemáticas]
Entonces, [matemáticas] z = W (\ ln (a)) [/ matemáticas]
o, [matemáticas] \ ln (x) = W (\ ln (a)) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ boxed {x = e ^ {W (\ ln (a))} = \ dfrac {\ ln (a)} {W (\ ln (a))}} [/ math]
Algunos valores de [matemáticas] W (x) [/ matemáticas] son
[matemáticas] W \ left (- \ dfrac {\ pi} {2} \ right) = \ dfrac {\ pi} {2} i [/ math]
[matemáticas] W \ left (- \ dfrac {\ ln (a)} {a} \ right) = – \ ln (a) [/ math]
[matemáticas] W \ left (- \ dfrac {1} {e} \ right) = – 1 [/ math]
[matemáticas] W (0) = 0 [/ matemáticas]
[matemática] W (1) = [/ matemática] constante Omega [matemática] \ aprox0.56714329 [/ matemática]
[matemáticas] W (e) = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] W (-1) \ aprox-0.31813-1.33723i [/ matemáticas]
Por ejemplo [matemáticas] x ^ x = e [/ matemáticas]
Entonces [matemáticas] x = \ dfrac {\ ln (e)} {W (\ ln (e))} = \ dfrac {1} {W (1)} = \ dfrac {1} {\ Omega} = \ dfrac {1} {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ dfrac {dt} {(e ^ tt) ^ 2 + \ pi ^ 2} -1} \ aprox1.763222834351896 [/ math]
Puedes comprobar
[matemáticas] 1.763222834351896 ^ {1.763222834351896} [/ matemáticas]
Vea que la aproximación falla después del 14to dígito, debería ser 45, no 42
¡Espero eso ayude!